Question

如图，点D在圆O的直径AB的延长线上，点C在圆O上，且AC=CD，角ACD=120°

（1）.求证CD是○O的切线
（2）.若圆O的半径为2，求图中阴影部分的面积

Answer 1

(1)证明：连结OC，
因为 AC=CD，角ACD=120度，
所以 角A=30度，
因为 OA=OC。
所以 角ACO=角A=30度，
所以 角OCD=角ACD--角ACO=120度--30度=90度，
所以 CD是圆O的切线。

追问

第二问呢？

追答

阴影呢？

Answer 2

1）证明：连接OC．
∵AC=CD，∠ACD=120°，
∴∠A=∠D=30°．
∵OA=OC，
∴∠2=∠A=30°．
∴∠OCD=90°．
∴CD是⊙O的切线．

（2）解：∵∠A=30°，
∴∠1=2∠A=60°．
∴S扇形OBC=60π×22360=
2π3．
在Rt△OCD中，∵CDOC=tan60°，
∴CD=2
3．
∴SRt△OCD=
12OC×CD=
12×2×2
3=2
3．
∴图中阴影部分的面积为2
3-2π3．

Answer 3

1、连接BC
∵AB是直径
∴∠ACB=90°
∴∠BCD=∠ACD-∠ACB=120°-90°=30°
∵AC=CD
∴∠A=∠D=(180°-∠ACD)/2=(180°-120°)/2=30°
∴∠ABC=60°
连接OC=OB
∴△BOC是等边三角形
∴OC=OB=BC
∴∠OCD=∠OCB+∠BCD=60°+30°=90°
∴CD是圆的切线
2、∵∠BCD=∠D=30°
∴BC=BD=OB=2
即OD=4
∴CD²=OD²-OC²=4²-2²=12
CD=2√3
∴S△COD=1/2OC×CD=1/2×2×2√3=2√3≈3.464
S扇形COB=2²×3.14×60/360=4×3.14×1/6≈2.093
∴S阴影=S△COD-S扇形COB=3.464-2.093=1.371

Answer 4

1、连接OC，
∵CD=AC，
∴∠CAD=∠D，
又∵∠ACD=120°，
∴∠CAD=1/2（180°-∠ACD）=30°，
∵OC=OA，
∴∠A=∠ACO=30°，
∴∠COD=60°，
又∵∠D=30°，
∴∠OCD=180°-∠COD-∠D=90°，
∴CD是⊙O的切线；
2、无图