Question

数学题（要过程）

在平行四边形ABCD中，∠BAD的平分线交直线BC于点E，交直线DC于点F。
（1）若∠ABC=90°，G是EF的中点（如图1），求∠BDG的度数。
（2）若∠ABC=120°,FG//CE,连接DB,DG,求∠BDG的度。
2）若∠ABC=120°,FG//CE,CE=FG，连接DB,DG,求∠BDG的度

Answer 1

（1）
∵ABCD是矩形，∴∠BAD＝∠ABE＝∠DCE＝90°、AB＝DC。
∵∠BAD＝90°、∠BAE＝∠DAE，∴∠BAE＝45°，又∠ABE＝90°，∴AB＝BE、∠AEB＝45°。
∵∠DCE＝90°，∴∠ECF＝90°，又由第一个问题的结论，有：CE＝CF，而EG＝FG，
∴∠ECG＝45°、EG＝CG。

由∠AEB＝45°，得：∠BEG＝135°。　由∠DCE＝90°、∠ECG＝45°，得：∠DCG＝135°。
∴∠BEG＝∠DCG。
由AB＝DC、AB＝BE，得：BE＝DC，结合证得的EG＝CG、∠BEG＝∠DCG，得：
△BEG≌△DCG，∴∠CBG＝∠CDG，∴B、G、C、D共圆，∴∠BDG＝∠ECG＝45°。
（2）∵ABCD是平行四边形，∴AB＝DC、AD∥BC，∴∠AEB＝∠DAE，又∠BAE＝∠DAE，
∴∠BAE＝∠AEB，∴AB＝BE，又AB＝DC，∴BE＝DC。

∵AD∥BC、∠ADC＝120°，∴∠ECF＝120°。
∵FG＝CE、FG∥CE，∴ECFG是平行四边形，而由第一个问题的结论，有：CE＝CF，
∴平行四边形ECFG是菱形，又∠ECF＝120°，∴△ECG、△FCG都是等边三角形，
∴EG＝CG、∠BCG＝∠CEG＝∠FCG＝60°，∴∠BEG＝∠DCG＝120°。

由BE＝DC、EG＝CG、∠BEG＝∠DCG，得：△BEG≌△DCG，∴∠CBG＝∠CDG，
∴B、G、C、D共圆，∴∠BDG＝∠BCG＝60°。

Answer 2

第一个问题：
∵ABCD是平行四边形，又∠ABC＝90°，∴平行四边形ABCD是矩形，∴∠ECF＝∠BAD＝90°，
又∠BAE＝∠DAE，∴∠BAE＝∠DAE＝45°。

∵ABCD是矩形，∴AB∥DF，∴∠CFE＝∠BAE。
∵ABCD是矩形，∴AD∥EC，∴∠CEF＝∠DAE，∴∠CEF＝∠DFE，而∠ECF＝90°，
△CEF是以EF为底边的等腰直角三角形，又EG＝FG，
∴∠CEF＝∠FCG＝∠ECG＝45°、EG＝CG。

∵∠CEF＝∠FCG，∴∠AEG＝∠DCG。
∵ABCD是矩形，∴AB＝DC。
∵∠ABC＝90°、∠BAE＝45°，∴AB＝BE，∴BE＝DC，又EG＝CG、∠AEG＝∠DCG，
∴△BEG≌△DCG，∴∠CBG＝∠CDG，∴B、G、C、D共圆，∴∠BDG＝∠ECG＝45°。

第二个问题：
条件不足，无法确定。
很明显，∠BDG的大小取决于FG的长短，而FG无法确定，∴∠BDG的大小无法确定。

注：请核查第二个问题的数据，若有其它条件，请补充说明。

Answer 3

（1）
∵ABCD是矩形，∴∠BAD＝∠ABE＝∠DCE＝90°、AB＝DC。
∵∠BAD＝90°、∠BAE＝∠DAE，∴∠BAE＝45°，又∠ABE＝90°，∴AB＝BE、∠AEB＝45°。
∵∠DCE＝90°，∴∠ECF＝90°，又由第一个问题的结论，有：CE＝CF，而EG＝FG，
∴∠ECG＝45°、EG＝CG。

由∠AEB＝45°，得：∠BEG＝135°。　由∠DCE＝90°、∠ECG＝45°，得：∠DCG＝135°。
∴∠BEG＝∠DCG。
由AB＝DC、AB＝BE，得：BE＝DC，结合证得的EG＝CG、∠BEG＝∠DCG，得：
△BEG≌△DCG，∴∠CBG＝∠CDG，∴B、G、C、D共圆，∴∠BDG＝∠ECG＝45°。