Question

在数列{an}中，a1=-1,a(n+1)=(1+1/n)an+(n+1)/2^n，

在数列{an}中，a1=-1,a(n+1)=(1+1/n)an+(n+1)/2^n，1.设bn=an/n,求数列{bn}的通项公式。2.求数列{an}的前n项和Sn
望您能详细解答。

Answer 1

你好：
（1）。依题有：a(n+1)=(1+1/n)an+(n+1)/2^n
等价于：a(n+1)=[(n+1)/n]*an+(n+1)/2^n
两边同除以n+1：[a(n+1)]/(n+1)=an/n+1/2^n
所以：b(n+1)=bn+1/2^n b(n+1)-bn=1/2^n
下面用累加法求bn通项公式：
b2-b1=1/2
b3-b2=1/4
b4-b2=1/8
......
bn-b(n-1)=1/2^(n-1)
即是： bn-b1=1/2+1/4+1/8+......+1/2^(n-1)=1-1/2^(n-1) b1=a1/1=a1=-1
bn= -1/2^(n-1)
（2）。an=nbn= -n/2^(n-1)
处理这种等差乘等比数列前n项和的方法是乘以公比做差。
Sn=a1+a2+....+an= -1/2^0-2/2^1-3/2^2-......-n/2^(n-1)
-Sn/2=1/2+2/2^2+3/2^3+.......+(n-1)/2^(n-1)+n/2^n
上下两式相加得：
Sn/2= -1/2^0-1/2^1-1/2^2-1/2^3-......-1/2^(n-1)+n/2^n
= -2+1/2^(n-1)+n/2^n
= -2+(n+2)/2^n
回答完毕，谢谢！

Answer 2

1，由bn=an/n得 an =n bn 。
则有(n +1)b(n +1)=(1+1/n )n bn+(n +1)/2^n 。
所以 2^(n +1) b(n+1) =2×2^nbn +2。
又 b1=1
故 bn =2-1/2^(n-1)=2-2^(1-n)
2. an=2n-n2^(1-n),
令t=1+2*2^(-1)+3*2^(-2)+……+n*2^(1-n),则
t/2=2^(-1)+2*2^(-2)+3*2^(-3)+……+n*2^(-n),
两式相减得
t/2=1+2^(-1)+2^(-2)+……+2^(1-n)-n*2^(-n)
=2-2^(1-n)-n*2^(-n),
所以t=4-2^(2-n)-n*2^(1-n),
故有Sn=n(n+1)-w=n(n+1)-4+2^(2-n)+n*2^(1-n).

Answer 3

a(n+1)=(n+1)a(n)/n
+
(n+1)/2^n,
a(n+1)/(n+1)=a(n)/n
+
1/2^n,
b(n)=a(n)/n,
b(n+1)=b(n)+1/2^n,
2^nb(n+1)=2*2^(n-1)b(n)+1,
c(n)=2^(n-1)b(n),
c(n+1)=2c(n)+1,
c(n+1)+1=2c(n)+2=2[c(n)+1],
{c(n)+1}是首项为c(1)+1=b(1)+1=a(1)+1=2,公比为2的等比数列.
c(n)+1=2*2^(n-1)=2^n=2^(n-1)b(n)+1,
b(n)=2-1/2^(n-1)
2-1/2^(n-1)=[2^n-1]/2^(n-1)=b(n)=a(n)/n,
a(n)=n[2^n-1]/2^(n-1)=2n-n/2^(n-1)
s(n)=2[1+2+...+n]
-
[1/1
+
2/2
+
3/2^2
+
...
+
(n-1)/2^(n-2)
+
n/2^(n-1)]
=n(n+1)
-
t(n),
t(n)=1/1
+
2/2
+
3/2^2
+
...
+
(n-1)/2^(n-2)
+
n/2^(n-1)
2t(n)=2/1
+
2/1
+
3/2
+
...
+(n-1)/2^(n-3)
+
n/2^(n-2),
t(n)=2t(n)-t(n)=2/1
+
1/1
+
1/2
+
...
+
1/2^(n-2)
-
n/2^(n-1)
=
2
-
n/2^(n-1)
+
[1-1/2^(n-1)]/[1-1/2]
=
2
-
n/2^(n-1)
+
2
-
2/2^(n-1)
=4
-(n+2)/2^(n-1).
s(n)=n(n+1)-t(n)=n(n+1)-4+(n+2)/2^(n-1)

Answer 4

解：
(1)
a(n+1)=(1+1/n)an+(n+1)/2^n=(n+1)an/n+(n+1)/2^n
a(n+1)/(n+1)=an/n+1/2^n
a(n+1)/(n+1)-an/n=1/2^n
an/n-a(n-1)/(n-1)=1/2^(n-1)
…………
a2/2-a1/1=1/2
累加
an/n-a1/1=1/2+1/2^2+...+1/2^(n-1)=(1/2)[1-1/2^(n-1)]/(1-1/2)=1-1/2^(n-1)
an/n=a1/1+1-1/2^(n-1)=1+1-1/2^(n-1)=2-1/2^(n-1)
n=1时，a1=2-1/1=1，同样满足。
bn=an/n=2-1/2^(n-1)
数列{bn}的通项公式为bn=2-1/2^(n-1)
(2)
an=2n-n/2^(n-1)
Sn=a1+a2+...+an=2(1+2+...+n)-1/2^0-2/2^1-3/2^2-...-n/2^(n-1)
令Tn=1/2^0+2/2^1+3/2^2+...+n/2^(n-1)
则Sn=2(1+2+...+n)-Tn=n(n+1)-Tn=n²+n-Tn
Tn/2=1/2^1+2/2^2+3/2^3+...+(n-1)/2^(n-1)+n/2^n
Tn-Tn/2=Tn/2=1/2^0+1/2^1+...+1/2^(n-1)-n/2^n
=(1-1/2^n)/(1-1/2)-n/2^n
=1/2-(1/2)/2^n-n/2^n
Tn=1-1/2^n-2n/2^n=1-(2n+1)/2^n
Sn=n²+n-1+(2n+1)/2^n

Answer 5

1.a[n+1]=((n+1)/n)a[n]+(n+1)/2^n
所以:a[n+1]/(n+1)=a[n]/n+1/2^n
即:b[n+1]=b[n]+1/2^n
b[n]=b[n-1]+1/2^(n-1),..,b[2]=b[1]+1/2
将以上n式相加得到:b[n+1]+b[n]+..+b[2]=b[n]+..+b[1]+(1/2^n+..+1/2)
b[n+1]=b[1]+1/2*(1-1/2^n)/(1-1/2)=1+1-1/2^n=2-1/2^n
∴b[n]=2-1/2^(n-1)
2.a[n]/n=b[n]=2-1/2^(n-1)
∴a[n]=2n-n/2^(n-1)
s[n]=2(1+2+..+n)-(1/1+2/2+..+n/2^(n-1))
=n(n+1)-(1+1+3/2^2+..+n/2^(n-1))
设x=3/2^2+..+n/2^(n-1),则2x=3/2+..+n/2^(n-2)
∴x=2x-x=(3/2+..+n/2^(n-2))-(3/2^2+..+n/2^(n-1))
=3/2+1/2^2+..+1/2^(n-2)-n/2^(n-1)
=3/2+1/2^2*(1-1/2^(n-3))/(1-1/2)-n/2^(n-1)
=3/2+1/2-1/2^(n-2)-n/2^(n-1)=2-(n+2)/2^(n-2)
∴s[n]=n(n+1)-(2+x)=n(n+1)-4+(n+2)/2^(n-1)