Question

已知2的x平方+x次方小于等于四分之一的x-2次方，求函数y=二分之一的x次方的值域。

Answer 1

读这个语言表述真的很难的说~
换成式子吧:
已知2^(x^2+x)≤(1/4)^(x-2),求y=(1/2)^x的值域
说明一下,^号是乘方号,前面是底,后面是幂,比如2^3,表示2的3次方即8
/号是除以,比如2/5是五分之二,或2除以5
这些符号在很多地方都是通用的
好了进入正题:
因为1/4=2^(-2),因此(1/4)^(x-2)=(2^(-2))^(x-2)=2^[(-2)*(x-2)]=2^(-2x+4)
{这部是利用(x^a)^b=x^(ab)性质,比如说8^2=(2^3)^2=2^6这种性质}
因为2^x是关于x的增函数,因此2^(x^2+x)≤2^(-2x+4)
等价于x^2+x≤-2x+4,即x^2+3x-4≤0,容易解得x范围是[-4,1]

又因为(1/2)^x是关于x的单调减函数,因此代入区间端点就可以求出值域的端点,即:
(1/2)^(-4)=2^4=16; (1/2)^1=1/2,因此值域为[1/2,16]