Question

在圆O中，AC为直径，MA、MB分别切圆于A、B,过B作BD垂直AC于E,交圆O于D,BD=MA,求角AMB的度数

Answer 1

因为MA是切线，AC是直径

所以∠MAC=90，

因为BD⊥ AC

所以∠BEC=90，

所以∠MAE=∠BEC

所以BD∥MA

又BD=MA

所以四边形ABDM是平行四边形

因为MA=MB

所以四边形ADBM是菱形

因为MB是切线

所以∠MBA=∠D

因为菱形ADBM中，∠M=∠D

所以∠MBA=∠D,

因为MA=MB

所以∠MAB=∠MBA

所以∠AMB=∠MAB=∠MBA

所以△AMB是等边三角形

所以∠AMB=60°

Answer 2

连接MO并延长至D；
∵MD为平行四边形AMBD的对角线，MD平方∠AMB；
而MO也平方∠AMB（切线长定理）；故MO与MD重合，即三点共线。
得½∠AMB＝∠MDB（已知BD＝MA＝MB，切线长定理）＝∠OBD（半径OB＝OD），
　　Rt△AMO∽Rt△EBO（一个角相等），
　　　相似比＝AM∶BE＝BD∶½BD（垂径分弦）＝2∶1，
　　AO∶OE＝BO∶OE＝2∶1，故∠OBD＝30º（30º所对直角边等于斜边的一半）
∴∠AMB＝60º。