Question

分式方程的不定方程题怎么做 。。以 求 1/x +1/y =1/7 的整数解为例讲一下 麻烦了 ！

Answer 1

∵1x＋1/y＝1/7，∴（x＋y）/（xy）＝1/7，∴7x＋7y＝xy，∴7y＝x（y－7）。
∵7是素数，且x、y都是整数，∴x、y－7中至少有一者是7的倍数。

一、当x是7的倍数时，令x＝7a，其中a是整数。得：7y＝7a（y－7），∴y＝a（y－7）。
　　显然，y、y－2是不等的，∴a＝－1，或a＝y，或a＝－y。
　　1、由a＝－1，得：y＝－（y－7），∴2y＝7，∴y＝7/2。
　　　　不合理，应舍去。
　　2、由a＝y，得：y＝y（y－7）。
　　　　显然，y不为0，否则原方程没有意义，∴1＝y－7，∴y＝8，∴7×8＝x（8－7），
　　　　∴x＝56。
　　　　∴原方程的一组整数解是：x＝56、y＝8。
　　3、由a＝－y，得：y＝－y（y－7），∴1＝7－y，∴y＝6，∴7×6＝x（6－7），
　　　　∴x＝－42。
　　　　∴原方程的第二组整数解是：x＝－42、y＝6。

二、当y－7是7的倍数时，令y－7＝7b，其中b是整数。得：7y＝7bx，∴y＝bx。
　　∴b＝1，或b＝－1，或b＝y，或b＝－y。
　　1、由b＝1，得：y＝x，∴由原方程，得：1/x＋1/x＝1/7，∴x＝14，∴y＝14。
　　　　∴原方程的第三组整数解是：x＝14、y＝14。
　　2、由b＝－1，得：y＝－x，∴由原方程，得：1/x－1/x＝1/7，∴0＝1/7。
　　　　不合理，应舍去。
　　3、由b＝y，得：y＝yx，∴x＝1，∴1＋1/y＝1/7，∴1/y＝－6/7，∴y＝－7/6。
　　　　不合理，应舍去。
　　4、由b＝－y，得：y＝－yx，∴x＝－1，∴－1＋1/y＝1/7，∴1/y＝8/7，∴y＝7/8。
　　　　不合理，应舍去。

三、考虑到原方程中，x、y是可以轮换的，∴原方程还有另外两组解，分别是：
　　第四组整数解：x＝8、y＝56。
　　第五组整数解：x＝6、y＝－42。

综上可知，原方程共有五组整数解，分别是：
x＝56、y＝8；　x＝－42、y＝6；　x＝14、y＝14；　x＝8、y＝56；　x＝6、y＝－42。

Answer 2

楼上两位的解答都很正确，但都比较麻烦。

设 x=7+a ，y=7+b ，代入可得
1/(7+a)+1/(7+b)=1/7 ，
通分得 7(7+b)+7(7+a)=(7+a)(7+b) ，
展开得 49+7b+49+7a=49+7a+7b+ab ，
即 ab=49 ，
所以，只须把 49 分解找到配对的因数，分别加 7 就是原方程的解，
由于 49=(-1)*(-49)=1*49=7*7 ，（舍去 (-7)*(-7) ，因为它使 x=y=0）
因此，原方程的解为 (x，y)=(6，-42) ，(8，56)，(14，14)，
交换后有 (x，y)=( -42 ，6)，(56，8) ，共五组 。

这种方法可以推广，如 12^2=1*144=2*72=3*48=4*36=6*24=8*18=9*16=12*12 ，
因此方程 1/x+1/y=1/12 的正整数解为 （只须 12 加每个因数，就是其解）
(x，y)=（13，156） ，（14，84），（15，60），（16，48），（18，36），（20，30），
（21，28），（24，24），交换顺序后可得其余诸解。

Answer 3

解：∵1/x＋1/y＝1/7，∴y=1/7-1/x=7x/(x-7).∴x-7=1、-1或者是7的倍数。
又因为是对称不等式，反之y-7=1、-1或者是7的倍数。再一一验证即可。就能很快得到整数解。
x＝56、y＝8；　x＝－42、y＝6；　x＝14、y＝14；　x＝8、y＝56；　x＝6、y＝－42。