Question

二次函数f(x)=ax^2+(a-3)x+3在区间(0,正无穷)上存在最小值。(1) 若最小值为2，求a的值；(2)当a≠1时，

求f(3)/f '(1)的取值范围

Answer 1

（1）若二次函数f(x)=ax^2+(a-3)x+3在区间(0,正无穷)上存在最小值。
则二次函数f(x)开口向上，对称轴x=3/(2a)-0.5>0 所以0<a<3
而最小值为2，故2=（4a*3-(a-3)^2）/(4a)
得a=1或a=9(舍去)
（2）f(3)=9a+3(a-3)+3=12a-6
f '(1)=3a-3
f(3)/f '(1)=(12a-6)/(3a-3)=2/(a-1)+4 0<a<3
f(3)/f '(1) <2或 f(3)/f '(1)>5

Answer 2

y‘=2ax+a-3=0
x。=（3-a）/（2a）
ax。^2+(a-3)x。+3=2
a=1或者a=9

f（3）=12a-6 f’（1）=3a-3
f（3）/f‘（1）=（12a-6）/（3a-3）=4+2/（a-1）
因为在（0，+∞）存在最小值，a>0
取值范围：（-∞，2）∪（6，+∞）

Answer 3

(1)f(x)存在最小值，则a>0，根据顶点的纵坐标公式即已知条件可知：(4ac-b^2)/4a=2，可得：a=1或9 检验：根据已知条件当f(x)取得最小值时，该点的横坐标在（0，正无穷），即-b/2a>0,则a只能为1
（2）题中已知条件在区间（0，正无穷）存在最小值，则-b/2a>0，即-(a-3)/2a>0，得a<3
综上可以得到0<a<1，1<a<3根据这两个再去讨论取值范围