Question

已知函数f(x)=x²+bx+c(b,c∈R),且x1≤1时,f(x)≥0;1≤x≤3,f(x)≤0恒成立

1.求b,c之间的关系式
2.当c≥3时，是否存在实数m,使得g(x)=f(x)-m²x在区间（0，+∞）上是单调函数，若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由

Answer 1

解：（1）由已知f（1）≥0与f（1）≤0同时成立，则必有f（1）=0，故b+c+1=0．
（2）假设存在实数m，使满足题设的g（x）存在．
∵g（x）=f（x）-m2x=x2+（b-m2）x+c开口向上，且在[m2-b2，+∞）上单调递增，
∴m2-b2≤0．∴b≥m2≥0．
∵c≥3，∴b=-（c+1）≤-4．
这与上式矛盾，从而能满足题设的实数m不存在．