Question

x/ (y+z)+y/(x+z)+z/(x+y) 大于等于3/2

怎么证明啊???

Answer 1

条件不足！需要x、y、z都是正数，或都是负数，否则结论不成立。

当x、y、z都是正数时，证明方法如下：
［证明］
∵x、y、z是可以轮换的，∴不失一般性地设x≦y≦z，则：
x＋y≦x＋z≦y＋z，∴1/（y＋z）≦1/（x＋z）≦1/（x＋y）。

考查下面同序的两组数：①x、y、z；②1/（y＋z）、1/（x＋z）、1/（x＋y）。
利用排序不等式：顺序和不小于倒序和、顺序和不小于乱序和，得：
x/（y＋z）＋y/（x＋z）＋z/（x＋y）≧x/（x＋y）＋y/（x＋z）＋z/（y＋z），
x/（y＋z）＋y/（x＋z）＋z/（x＋y）≧y/（x＋y）＋x/（x＋z）＋y/（y＋z）。
上述两式左右分别相加，得：
2［x/（y＋z）＋y/（x＋z）＋z/（x＋y）］≧2＋（x＋y）/（x＋z）。

一、若0＜x≦y≦z，则：0＜x＋y≦x＋z，∴（x＋y）/（x＋z）≦1，
　　∴2＋（x＋y）/（x＋z）的最大值是3，
　　∴2［x/（y＋z）＋y/（x＋z）＋z/（x＋y）］的最小值是3，
　　∴2［x/（y＋z）＋y/（x＋z）＋z/（x＋y）］≧3，
　　∴x/（y＋z）＋y/（x＋z）＋z/（x＋y）≧3/2。

二、若x≦y≦z＜0，则：x＋y≦x＋z＜0，∴（x＋y）/（x＋z）≧1，
　　∴2［x/（y＋z）＋y/（x＋z）＋z/（x＋y）］≧2＋（x＋y）/（x＋z）≧3，
　　∴x/（y＋z）＋y/（x＋z）＋z/（x＋y）≧3/2。

综上一、二所述，无论x、y、z同为正数，或同为负数，结论都成立。
即：x/（y＋z）＋y/（x＋z）＋z/（x＋y）≧3/2。

注：当x＝－1、y＝0、z＝2时，
　　x/（y＋z）＋y/（x＋z）＋z/（x＋y）＝－1/2＋0－2＜0，结论不成立。
　　∴需要：x、y、z都是正数，或都是负数。

Answer 2

需增加条件 x,y,z 中至少有两个>0，另一个不小于0。命题才成立
证明如下
x/(y+z)+y/(x+z)+z/(x+y)
=（（x+y）/(y+z)+(x+z)/(y+z)
+（x+y）/(x+z)+(y+z)/(x+z)
+（z+x）/(x+y)+(z+y)/(x+y)）/2-2/3
≧6*(（（x+y）/(y+z)) * ((x+z)/(y+z))
*(（x+y）/(x+z)) * ((y+z)/(x+z))
*(（z+x）/(x+y)) * ((z+y)/(x+y)))^(1/6)／2－3／2
＝6／2－3／2
＝3／2
得证

Answer 3

少条件吧，有x+y+z=0吧？