Question

1）如图①所示，在△ABC中，AB=AC,P为底边BC上一点，PD⊥AB于D，PE⊥AC于E，CF

如图①，在等腰△ABC中，底边BC上有任意一点，过点P作PE⊥AC，PD⊥AB，垂足为E、E，再过C作CF⊥AB于点F；（1）求证：PD+PE=CF；（2）若点P在BC的延长线上，如图②，则PE、PD、CF之间存在什么样的等量关系，请写出你的猜想，
并证明．

Answer 1

（1）证明：连接AP．
∵AB=AC，
∴S△ABC=S△ABP+S△ACP=1/2AB×PD+1/2AC×PE=1/2×AB×（PD+PE），

∵S△ABC=1/2AB×CF，
∴PD+PE=CF．
（2）解：CF+PE=PD．
P点在BC的延长线上，过P做AB⊥PD，过C作AB⊥CF，过P作PE⊥AC，交AC的延长线于E点，连接AP
∵AB=AC，
∴S△APB=S△ABC+S△ACP=1/2AB×CF+1/2AC×PE=1/2×AB×（CF+PE），

∵S△APB=1/2AB×PD，
∴CF+PE=PD．

此题主要考查等腰三角形的性质及三角形面积的综合运用，此题的关键是利用面积公式将所求联系在一起．

Answer 2

第一问：这种题常采用“截长法”，作PK∥FD交CF于点K，此时有平行四边形DPKF，DP=FK
因为等腰三角形，角B=角KPC=角ACP，且△PKC与△CEP有公共边和90°角 全等，则
KC=PE，即CF=FK+KC=DP+PE 得证
第二问：与第一问大同小异 满足PD=CF+PE 用CK∥DF交DP于点K再证△KCP≌△ECP即可
不懂再问~

Answer 3

（1）过c做条ab的平行线，交dp延长线于q，cf=dq，等腰三角形所以角b和角acb相等，很么平行线的话角b和角bcq等，之后加一个直角和一条公共边，三角形pec和三角形pcq就全等了，所以pe等于pq。cf=pd+pq=pd+pe
#
（2）pd=pe+cf
c向pd做条垂线垂足q。之后证明方法差不多，一个长方形dfcq之后pec和pqc全等。就好了。

Answer 4

1、证明：P在BC线段上
∵ PD⊥AB,CF⊥⊥AB
∴ PD//CF
过P做PG//AB,垂足为G,交CF与Q
∴ CQ⊥PG,且四边形FQPD为矩形
∴ PD=FQ
又∵△ABC为等腰三角形，且PE⊥AC
∴ PE=CQ
∴ PD+PE=FQ+CQ=CF
2、若点P在BC的延长线上，那么PE、PD、CF之间纯在的关系为：
PD=CF+PE
证明：点P在BC的延长线上
过C做CQ⊥DP,垂足为Q,
又∵PD⊥AB,CF⊥AB
∴四边形DQCF为矩形
∴DQ=CF,
又∵△ABC为等腰三角形
∴PQ=PE
∴PD=PQ+DQ=CF+PE