Question

若函数f(x)在[a,b]上连续,a<c<d<b,证明:存在ξ∈(a,b),使得2f(ξ)=f(c)+f(d)

虽然我也觉得很好证，但不知道具体证明过程怎么写啊- -

Answer 1

如果f(c)=f(d)只要取ξ=c即可。
如果f(c)≠f(d)
由于f(x)在[a,b]上连续，所以存在最值，记最大值为f(M)最小值为f(m)
考虑连续函数F(x)=2f(x)-f(c)-f(d)
F(m)=2f(m)-f(c)-f(d)<0
F(M)=2f(M)-f(c)-f(d)>0
根据介值定理，
存在ξ∈(a,b)使得
F(ξ)=0
即2f(ξ)=f(c)+f(d)

Answer 2

因函数f(x)在[a,b]上连续,故在[c,d]连续.
由于(f(c)+f(d))/2在f(c)和f(d)之间,由介值性定理，存在ξ∈(a,b),使得f(ξ)=(f(c)+f(d))/2.