Question

设函数f(x)是定义在(-无穷，0)并(0,+无穷)上的奇函数，又f(x)在(0,+无穷)上是减函数

设函数f(x)是定义在(-无穷，0)并(0,+无穷)上的奇函数，又f(x)在(0,+无穷)上是减函数，且f(x)<０，试判断函数F(x)=1/f(x)在(-无穷，0)上的单调性，并给出证明

Answer 1

先证明f(x)在(-∞,0)是减函数，证明如下：
任取x1,x2，使x1<x2<0，则有-x1>-x2>0，（这一步为了运用已知条件），因为f(x)在(0,+∞)是减函数，所以有f(-x1)<f(-x2)，因为f(x)是奇函数，所以有-f(x)=f(-x)，因此有f(-x1)<f(-x2)→-f(x1)<-f(x2)，
所以有f(x1)>f(x2)（注意x1,x2始终小于0，上面过程已经由假设x1<x2<0证出f(x1)>f(x2)），所以f(x)在(-∞,0)是减函数。
由于f(x)是奇函数，f(x)在(0,+∞)有f(x)<0，所以当x<0时，f(x)=-f(-x)<0，（注意x<0时，有-x>0，不要和前面的x搞混了），因此有，当x<0时，f(x)>0，因此F(x)=1/f(x)与f(x)的单调性相反，所以F(x)在(-∞，0)是增函数。