Question

已知三角形ABC中,D是BC边上一点,求证AB^2●DC+AC^2●BD-AD^2●bc=BC●dc●bd

初二的题，没学过圆和正余弦定理

Answer 1

证明：AB^2●DC+AC^2●BD-AD^2●BC
=AB^2●DC+AC^2●BD-AD^2●(BD+DC)
=(AB^2-AD^2)×DC+(AC^2-AD^2)×BD
过A点作AE⊥BC于点E
1、若点E与B(或C)重合（自己作图）
则：(AB^2-AD^2)×DC+(AC^2-AD^2)×BD
=(AC^2-AD^2)×BD-(AD^2-AB^2)×DC
=[(AB^2+BC^2)-(AB^2+BD^2)]×BD-BD^2×DC
=(BC^2-BD^2)×BD-BD^2×DC
=(BC+BD)(BC-BD)×BD-BD^2×DC
=(BC+BD)DC×BD-BD^2×DC
=BD×DC×(BC+BD-BD)
=BC×DC×BD
2、若点E在BC的延长线上（自己作图）
则：(AB^2-AD^2)×DC+(AC^2-AD^2)×BD
=[(AE^2+BE^2)-(AE^2+DE^2)]×DC+[(AE^2+CE^2)-(AE^2+DE^2)]×BD
=(BE^2-DE^2)×DC+(CE^2-DE^2)×BD
=(CE+DE)(CE-DE)×BD-(DE+BE)(DE-BE)×DC
=(CE+DE)DC×BD-(DE+BE)BD×DC
=BD×DC×[CE+DE-(DE+BE)]
=BC×DC×BD
3、若点E在BC上（自己作图）
则：(AB^2-AD^2)×DC+(AC^2-AD^2)×BD
=[(AE^2+BE^2)-(AE^2+DE^2)]×DC+[(AE^2+CE^2)-(AE^2+DE^2)]×BD
=(BE^2-DE^2)×DC+(CE^2-DE^2)×BD
=(DE+BE)×BD×DC+(CE-DE)×DC×BD
=BD×DC×(DE+BE+CE-DE)
=BC×DC×BD
综上所述AB^2●DC+AC^2●BD-AD^2●BC=BC●DC●BD

Answer 2

令AB=c,BC=a,CA=b,AD=d，DB=DC=a/2,带入化简，得b^2+c^2=2d^2+a^2/2,
what that?
△ABD和三角ADC用余弦定理后相加的结果！！！
1.化繁为简
2.猜它的意图是用余弦定理

Answer 3

以三角形ABC做出一个外接圆 延长AD交圆与E 利用三角形相似关系（△ABD与△CDE △ADC 与△BDE）带入就可以了 输入比较麻烦 楼主可以自己化简一下 挺简单的。

追问

初二的题，没学过圆和正余弦定理

追答

额 那你们学过什么。。。

追问

学全等勾股定理，没学相似