Question

函数f(x)的定义域为D={x|x不等于零},且满足对于任意x1,x2∈D,有f(x1x2)=f(x1)+f(x2);

如f(2)=1,f(3x+1)小于等于2,且f(x)在(0,正无穷大)上是增函数,求x的取值范围

Answer 1

上面的解答只对了一半，注意到题目给出的定义域是D={x|x≠0}，这就隐含了除了正域，还要考虑负域内的函数值。
首先由f(x1x2)=f(x1)+f(x2), 令x1=1, 则f(x1*x2)=f(1*x2)=f(x2)=f(1)+f(x2), 可得f(1)=0
令x1=x2=-1, 则f(x1*x2)=f(-1*-1)=f(1)=f(-1)+f(-1)=2f(-1)=0, 可得f(-1)=0
再令x1=-1, 则f(x1*x2)=f(-1*x2)=f(-x2)=f(-1)+f(x2)=0+f(x2)=f(x2), 即有f(x2)=f(-x2)
则可证明f(x)在D内为偶函数
f(4)=f(2*2)=f(2)+f(2)=2f(2)=2
由已知f(x)在(0,正无穷大)上是增函数，可知满足f(3x+1)≤2的x的取值范围是
0≤3x+1≤4，解得-1/3<x≤1
再由偶函数的对称性可知，在负域内同样有一个与(-1/3, 1]的对称区间使得函数的值满足≤2
这个对称区间就是[-1, 1/3)
所以满足≤2的x取值范围应是(-1/3, 1]U[-1, 1/3)，即为{x|-1≤x≤1且x≠0}

Answer 2

解：∵f(xy)=f(x)+f(y)
∴f(1×1)=f(1)+f(1)
∴f(1)=0
∴f（(-1）×（-1)）=f(-1)+f(-1)
∴f(-1)=0
∴f(-x)=f(-1)+f(x)=f(x)
∴f(x)是偶函数
∵f(3x+1)≤2
即f(3x+1)≤1+1
∴f(3x+1≤f(2))+f(2)
得f(3x+1)≤f(4)
又∵f(x)在(0,正无穷大)上是增函数，且在D上是偶函数
∴-4≤3x+1＜0或0<3x+1≤4
∴-5/3≤x≤1且x≠0
即x的取值范围为｛x|-5/3≤x≤1且x≠0｝

Answer 3

因为f(x1x2)=f(x1)+f(x2);
所以f(3x+1)<=1+1=f(2)+f(2)=f(4)
又因为f(x)在(0,正无穷大)上是增函数,
所以0<3x+1<=4,解的-1/3<x<=1,即为x的取值范围。