Question

如图，梯形ABCD中，AD∥BC，点E是边AD的中点，连接BE，AC交于点F，BE的延长线交CD的延长线于点G。

求证：GD×CF=GC×AF

该图为：梯形ABCD，左上角为A点，顺时针的点为D，C，B.延长CD至G点连接BG，AC，BG交AC于F点

Answer 1

　　证明：∵AD∥BC
　　∴∠GED=∠GBC，∠GDE=∠GCB，（同位角相等）
　　∠BGC是△GED和△ GBC 的公共角。
　　∴△GED∽△ GBC
　　∴GD：GC=ED：BC
　　又由AD∥BC得：
　　∠FAE=∠FCB，∠AEF=∠FBC，（内错角相等）
　　∠AFE=△CFB（对顶角相等）
　　∴△AFE∽△ CFB
　　∴AF：FC=AE：BC
　　∵点E是边AD的中点,
　　∴AE=ED
　　∴GD：GC=ED：BC=AE：BC=AF：FC
　　∴GD：GC=AF：FC
　　∴GD×CF=GC×AF