Question

（1）已知a，b满足a^3－3a^2＋5a＝3，b^3－3b^2＋5b＝5，求a＋b的值

（2）当n为怎样的自然数时，数3的2n+1次+2的2n+1次-6的n次是合数？
（3）多项式x方-（a+5）x+5a-1能分解成两个一次因式（x+b)，（x+c)的乘积，其中b，c是整数，则a的值应为多少？
3道都回答再给分o~不要用函数！在线等o~
再加题，答对追加分
（1）x的三次-11x+20因式分解
（2）(6x+7)方(3x+4)(x+1)-6因式分解

Answer 1

1. x³-3x²+5x=(x-1)³+2(x-1)+3
(a-1)³+2(a-1)+3=1
(b-1)³+2(b-1)+3=5
l两式相加得到
(a-1)³+2(a-1)+(b-1)³+2(b-1)=0
利用a³ + b³ = （a+b )(a²-ab +b²)公式
(a+b-2)[(a-1)²-(a-1)(b-1)+(b-1)²]+2(a+b-2)=0
(a+b-2)[(a-1)²-(a-1)(b-1)+(b-1)²+2]=0
而（a-1)²-(a-1)(b-1)+(b-1)²+2≥0( 能推导出来就是有点麻烦)
故a+b=2

2.不为0和1的所有自然数都可以
方法如下：令a = 3^n; b = 2^n.
则3^2n+1-2^2n+1-6^n
= 3a^2-2b^2-ab
= a^2 + 2a^2 - 2b^2 -ab
= a(a-b) + 2(a+b)(a-b)
= (a-b)(3a+2b)
所以，只要（a-b）不等于0和1， (a-b)(3a+2b)一定为合数

3.因x²-(a+5)x+5a-1=(x+b)(x+c)= x²+(b+c)x+bc
故有b+c=-a-5, bc=5a-1
消去a, 变形得 （b+5）(c+5)=-1
因 b，c是整数，故有b=-4,c=-6 或b=-6,c=-4。
于是a=5

4. x³-11x+20
=x³＋4x²－﹙4x²＋11x－20﹚
=x²﹙x＋4﹚－﹙x＋4﹚﹙x－5﹚
=﹙x＋4﹚﹙x²－x＋5﹚

5.(6x+7)²(3x+4)(x+1)-6因式分解
原式=(36x²+84x+49)(3x²+7x+4)-6
令a=3x²+7x+4
则36x²+84x+49=12a+1
原式=a(12a+1)-6
=12a²+a-6
=(3a-2)(4a+3)
=(9x²+21x+10)(12x²+28x+19)
=(3x+2)(3x+5)(12x²+28x+19)

追问

第4题怎么是这样做的？4x方只剩x方啦？？

追答

不好意思，做错了: 新的解法如下
x^3-11x+20
=x^3- x^2 -20x + x^2 + 20x -11x +20
=x( x^2-x -20) + x^2 + 9x +20
=x(x-5)(x+4) + (x+4)(x+5）
=(x+4)（x^2-5x+x+5)
=(x+4)（x^2-4x+5)

Answer 2

（1）没法写，a，b只能用三次求根公式写出太烦不写了，a≈ 0.7372777207，b≈ 1.233229338
a+b≈ 1.970507058
（2）n≥5时 ，严格证明不会
（3） x²-(a+5)x+5a-1=(x+b)(x+c)=x²+(b+c)x+bc
b+c=-(a+5) bc=5a-1
(b+5)(c+5)=bc+5(b+c)+25=5a-1-5(a+5)+25=-1
b+5，c+5都是整数，所以b+5=1,c+5=-1 或b+5=-1,c+5=1
不管哪种情况均有b+c=-4+(-6)=-10 可得a=5
（4）x³-11x+20=(x+4)(x²-4x+5)
(5) (6*x+7)^2*(3*x+4)*(x+1)-6=(3x+2)(3x+5)(12x²+28x+19)