Question

已知函数f(x)=ax^2+bx+3a+b是偶函数，定义域为【a-1，2a】，则求此函数的值域。

Answer 1

已知函数f(x)=ax^2+bx+3a+b是偶函数，定义域为【a-1，2a】，则求此函数的值域。
解析：∵函数f(x)=ax^2+bx+3a+b是偶函数
函数f(x)关于Y轴对称
∴b=0, f(x)=ax^2+3a
∵定义域为【a-1，2a】
2a>=a-1==>a>=-1

F(a-1)=a(a-1)^2+3a=a(a^2-2a+4)
F(2a)=a(2a)^2+3a=a(4a^2+3)
F(2a)- F(a-1)=a(3a^2+2a-1)=a(a+1)(3a-1)
令h(a)=3a^3+2a^2-a==>h’(a)=9a^2+4a-1=0
a1=(-2-√13)/9≈-0.6228，a2=(-2+√13)/9≈0.1784
h”(a)=18a+4==> h”(a1)<0, h”(a2)>0
∴函数h(a)在a1处取极大值；在a2处取极小值；

F(2a)- F(a-1)=a(a+1)(3a-1)=0
A1=-1,a2=0,a3=1/3
∴当-1<=a<=0时，F(2a)>= F(a-1)
当0<a<1/3时，F(2a)< F(a-1)
当a>=1/3时，F(2a)>= F(a-1)

当a>0时，抛物线开口向上，顶点(0,3a)
a-1>=0==>a>=1时, 函数f(x)值域为[F(a-1), F(2a)]；
2a<0==>a<0时，无定义；
a-1<0==>0<a<1时，
∴当0<a<1/3, h(a)<0==> F(2a)< F(a-1)
函数f(x)值域为[3a，F(a-1)]
当1/3<=a<1, h(a)>0==> F(2a)> =F(a-1)
函数f(x)值域为[3a，F(2a)]
当a>=1, h(a)>0==> F(2a)> F(a-1)
函数f(x)值域为[F(a-1)，F(2a)]

当-1<=a<=0时，抛物线开口向下，顶点(0,3a)
a-1<=2a<=0
函数f(x)值域为[F(a-1)，F(2a)]

综上：
当-1<=a<=0时，函数f(x)值域为[F(a-1)，F(2a)]
当0<a<1/3时，函数f(x)值域为[3a，F(a-1)]
当1/3<=a<1时，函数f(x)值域为[3a，F(2a)]
当a>=1时，函数f(x)值域为[F(a-1)，F(2a)]

Answer 2

∵f（x）=ax2+bx+3a+b为偶函数
∴b=0，1-a=2a
解得b=0，a=1/3
所以f（x）=1/3x^2+1，定义域为[-2/3，2/3]
所以当x=0时，有最小值 1，当x=2/3时，有最大值31/27
∴f（x）的值域为[1，31/27]
故答案为：[1，31/27]