Question

用函数单调性定义证明fx=x／x-1在（1，正无穷）上是单调减函数。

Answer 1

证明：
f(x)=x/(x-1)=1+1/(x-1)
在(1，+∞)上任取x1,x2
设1<x1<x2
f(x1)-f(x2)
=1+1/(x1-1)-1-1/(x2-1)
=1/(x1-1)-1/(x2-1)
=(x2-x1)/[(x1-1)(x2-1)]
因为x1<x2<1
所以 x2-x1>0,(x1-1)(x2-1)>0
所以 f(x1)-f(x2)>0
所以 f(x1)>f(x2)
所以 函数f(x)=x/(x-1)在（1，正无穷）上是单调减函数

Answer 2

f(x) = x / x-1 = x-1+1/x-1 = x-1/x-1 + 1/x-1 = 1 + 1/x-1
f(x) = 1/x 在x>0的区间里就是一个单调递减函数，f(x) = 1/x-1 在x>1的区间和前面是一样的意思，只是整个图像向右平移了一个单位，再加一个1单调性不变，
综上：f(x) = x/x-1 在x>1的区间上是单调递减的函数！