Question

如图，直线y=1/2x+2分别交x,y轴于点A,C,P是该直线上第一象限内的一点，PB⊥x轴，B为垂足，S△ABP=9，P(2,3

设点M与点P在同一个反比例函数的图像上，且点M在直线PB右侧，过M作MN⊥x轴，N为垂足，当△BMN与△AOC相似时，求M点的坐标

Answer 1

若BM//AC,△BMN与△AOC相似,[AAA,证明略]，设M(p，q)，q<3，此时在BM上有无数个满足条件点;
假如原题是...△BMN与△AOC全等时...，须满足BM//AC：
易得A(-4，0),C(0，2),B(2，0);
M(p，q)，BM的方程的斜率=1/2，
MN:NB=1/2，
q:p-2=1/2,
p=2q+2;...1)
BM²=MN²+BN²=AC²
q²+(p-2)²=4²+2²
q²+(p-2)²=20,...2)
1)代入2):
q²+(2q+2-2)²=20,
q1=2,p1=6;M1(6，2)；另一个是M1关于x轴的对称点M2(6，-2).【严格说来也满足要求,因为“点M在直线PB右侧”，不是“点M在线段PB右侧”】
【另一个解：q2=-2,p2=-2,在直线PB左侧，舍去；】

Answer 2

若BM//AC,△BMN与△AOC相似,[AAA,证明略]，设M(p，q)，q<3，此时在BM上有无数个满足条件点;
假如原题是...△BMN与△AOC全等时...，须满足BM//AC：
易得A(-4，0),C(0，2),B(2，0);
M(p，q)，BM的方程的斜率=1/2，
MN:NB=1/2，
q:p-2=1/2,
p=2q+2;...1)
BM²=MN²+BN²=AC²
q²+(p-2)²=4²+2²
q²+(p-2)²=20,...2)
1)代入2):
q²+(2q+2-2)²=20,
q1=2,p1=6;M1(6，2)；另一个是M1关于x轴的对称点M2(6，-2)

q2=-2,p2=-2,在直线PB左侧，舍去