Question

已知函数f(x)=|x^2-4x+3|。(1)求函数f(x)的单调区间，并指出增减性。

(1)求函数f(x)的单调区间，并指出增减性。
(2)若关于f(x)-a=x至少有三个不相等实数根,求a的取值范围.

Answer 1

已知函数f(x)=∣x^2-4x+3∣.求函数f(x)的单调区间和其增减性；
解
方程x^2-4x+3=0的解为x=1、x=3
当1＜x＜3时，x^2-4x+3＜0，则f(x)=∣x^2-4x+3∣的图象与 x^2-4x+3 关于x轴对称
且有对称轴x=(1+3)/2=2
所以，当x≤1时，f(x)单调递减，
当1≤x≤2时，f(x)单调递增，
当2＜x＜3时，f(x)单调递减，
当x≥3时，f(x)单调递增

求集合M｛m∣使方程f (x )=mx有四个相等的实根｝
令函数g(x)=mx，则恒有g(0)=0
作出函数f(x)的图象，可知f(x)的“主体部分”都在第一象限
当1＜x＜3时，f(x)= -x^2+4x-3
在此区间上使g(x)=f(x)即 -x^2+4x-3=mx，则有
x^2+(m-4)x+3=0
当相切时，有(m-4)^2-4×3=0
解得m=4-2√3
所以可知，当时0＜m＜4-2√3 时，方程f (x )=mx有四个实根
M={m∣m∈(0，4-2√3)}

追问

(2)若关于f(x)-a=x至少有三个不相等实数根,求a的取值范围.

追答

f'(x)=x^2-2ax+a^2-1=(x-a-1)(x-a+1)=0, 得两个不同极值点x1=a-1, x2=a+1
方程f(x)=0至少有三个不等实数根，
则有： 极大值f(x1)>0, 极小值f(x2)0, 得：a>-2且a1
f(x2)=1/3*(a+1)^3-a(a+1)^2+(a^2-1)(a+1)=(a+1)^2 [1/3*(a+1)-a+a-1]=(a+1)^2*(a-2)/3-1
综合得：a∈(-2,-1)U(-1,1)U(1,2)

Answer 2

递减区间为（-无穷大，1],[2,3];增区间为[1,2],[3,+无穷大)
要想有三个不等实数根，则函数y=x+a与上述函数图象有三个不同交点
当图象过点（1,0）时，0=1+a,a=-1
当直线与y=|x^2-4x+3|相切，即与y=-(x^2-4x+3)相切，
此时a=-3/4
故-1<=a<-3/4