Question

已知二次函数f(x)满足f(x+1)+f(x-1)=2x^2-4x.(1)求函数f(x)的解析式(2)求当x∈[0,a] (a

.(1)求函数f(x)的解析式(2)求当x∈[0,a] (a＞0）时f（x）的最大值g(a).

Answer 1

1. f(x)为二次函数，故可设f(x)=ax^2+bx+c,则

   f(x+1)+f(x-1)=a(x+1)^2+b(x+1)+c+a(x-1)^2+b(x-1)+c=2ax^2+2bx+2a+2c

   又f(x+1)+f(x-1)=2x^2-4x 比较系数得：2a=12 2b=-4 2a+2c=0

   所以，a=1 b=-2 c=-1

   从而 f(x)=x^2-2x-1

2. f(x)的对称轴为x=1,开口向上，对a(此处的a与1中的a没有任何关系)进行分类讨论：

   1)0<a≤1时，f(x)在[0,a]上单调递减，故f(x)的最大值g(a)=f(0)=-1

   2)a≥1时，f(x)在[0,1]上单调递减，在[1,a]上单调递增，最大值在x=0或x=a处取得

      又f(0)=f(2)，由函数图象有：

      (1)1≤a≤2时，f(x)最大值等于g(a)=f(0)=-1

      (2)a>2时，f(x)最大值等于g(a)=f(a)=a^2-2a-1

   综上所述：0<a≤2时，g(a)=-1

                         a>2时，g(a)=a^2-2a-1