Question

点A,B分别是椭圆x^2/36+y^2/20=1长轴的左右端点,点F是椭圆的右焦点,点P在椭圆上且位于x轴上方PA垂直于PF

点A,B分别是椭圆x^2/36+y^2/20=1长轴的左右端点,点F是椭圆的右焦点,点P在椭圆上且位于x轴上方PA垂直于PF
（1）求点p坐标
（2）设M是椭圆长轴AB上的一点M到直线AP的距离等于|MB|，求椭圆上的点到点M的距离d的最值

Answer 1

依照题意，先求出A,B,F 坐标: A(-6,0);B(6,0);F(4,0)

<1> 设P（x,y) ；PA垂直于PF， 所以 kPA*kPF = -1
kPA = y/(x+6) ; kPF = y/(x-4) ；因此 y^2+(x+6)(x-4)=0....1#
P 在椭圆上，所以 y^2 = 20(1-x^2/36) 代入 1#

20 - 5x^2/9 +x^2 +2x -24=0 ; 解之 x= 3/2 ; y = 5√3/2

<2> 一般而言，是要联立距离公式求解。但是，解析几何题目优先挖掘其几何性质！

kAP =( 5√3/2-0)/(3/2+6) = 5√3/15 = √3/3 ,∠PAF = π/6 !
因此 设P坐标 (x0,0);
M到直线AP = MA/2 = (x0+6)/2 = MB = 6-x0
因此 x0=2 现在求最值

椭圆上点 K(x,y) 到

则 MK^2 = (x-2)^2+y^2 = x^2-4x+4+20(1-x^2/36)
= 4x^2/9 -4x +24
= 4/9 * (x^2-9x+81/4) +24-9
= 4/9*(x-9/2)^2+15

所以 x=9/2 时， MK 取得最小值 √15