Question

已知函数f(x)的定义域为{x/x属于R且x不等于0}，对于定义域内的任意x1,x2都有f(x1*x2)=f(x1)+f(x2)

1,求证f(1/x)=-f(x),且f(x)是偶函数
2，请写出一个满足上述条件的函数

Answer 1

1、令X1=1，X2=x，得f(x)=f(1)+f(x),所以f(1)=0
令X1=1/X2=x，得f(1)=f(x)+f(1/x)=0，即f(1/x)=-f(x)得证。
由于（-1）=1/(-1)，代x=-1得f(-1)=-f(-1), f(-1)=0
再令x1=-1,x2=x，得f(-x)=f(-1)+f(x)=f(x)，即f(x)为偶函数。
2、由已知条件易写出 f(x^n)=nf(x)，满足这个条件的是对数函数。再根据1问中的讨论，可写出满足所有条件的一个函数f(x)=ln|x|. （当然你也也可以以其他数为低，如以10为底则f(x)=lg |x| )