Question

已知函数f(x)=1/8x^2-5/4x+1的定义域为和值域都是【a.b】,试求a.b的值

已知函数f(x)=1/8x^2-5/4x+1的定义域为和值域都是【a.b】,试求a.b的值

Answer 1

解：f(x)=1/8x^2-5/4x+1=1/8*(x^2-10x+8)
画出f(x)的图像，对称轴为x=5。
若a<b≤5，则有
f(a)=b
f(b)=a
也即
8b=a^2-10a+8①
8a=b^2-10b+8②
①-②得
8(b-a)=(a+b)(a-b)-10(a-b)
因a<b，故a-b≠0，故有
-8=a+b-10
得a+b=2③
①+②并代入③可得
a^2+b^2=20④
③^2-④，可得ab=-8⑤
联立③⑤可知a,b是一元二次方程x^2-2x-8=0的两个根。于是得a=-2,b=4。
若a≤5<b，则必有f(5)=a，得a=-17/8。于是有
f(a)=b 得b=f(-17/8)=2161/512<5，不合题意
f(a)≥f(b)
或者
f(b)=b 得b=9+√73 （b=b=9-√73<5舍去）
f(a)≤f(b) -17/8关于x=5的对称点是97/8<9+√73 ，故f(a)≤f(b)成立
于是得a=-17/8,b=9+√73 。
若5≤a<b，则必有
f(a)=a
f(b)=b
也即a,b是一元二次方程f(x)=x的两个根。得a=9-√73 ,b=9+√73。但a<5，故也不合题意。
综上，得到a,b有两组解：
a=-2,b=4 或者a=-17/8,b=9+√73 。
本题主要是对a,b与对称轴x=5的关系分开进行讨论。