Question

函数f(x)的定义域为R,对任意x,y属于R,都有f(x+y)=f(x)+f(y),f(xy)=f(x)f(y)恒成立,

当x不等于y时，f(x)不等于f(y),试证明：
（1）若x＞0，则f(x)＞0 （2）f(x)是R上的单调递增函数

Answer 1

（1）在 f(x+y)=f(x)+f(y) 中，取 x=y=0 ，得 f(0)=0 ，
对任意的正数 x ，因为 √x ≠ 0 ，所以 f(√x) ≠ f(0) ，即 f(√x) ≠ 0 ，

所以 f(x)=f(√x*√x)=[f(√x)]^2>0 。
（2）设 x1<x2 ，
则 f(x1)-f(x2)
=f(x1)-f[(x2-x1)+x1]
=f(x1)-[f(x2-x1)+f(x1)]
= -f(x2-x1) ，
由于 x1<x2 ，则 x2-x1>0 ，由（1）知，f(x2-x1)>0 ，
所以 f(x1)-f(x2)<0 ，
即 f(x1)<f(x2) ，
因此由定义知，f(x) 在 R 上为增函数。