Question

已知:如图,E/F/G/H分别是菱形ABCD的各边上的点,且AE=CF=CG=AH.求证：四边形EFGH是矩形

求全过程 运用对角线知识的

Answer 1

提示下你：两个是全等等腰三角形，所以EH=FG,又因为，角ahe=角gfc,又菱形平行，所以EH平行FG,所以它是矩形

追问

EH为什么平行FG

追答

角ahe=角gfc,又菱形平行

追问

不懂，为什么这两个角相等他就平行了

追答

晕，三角形AEH和三角形CGF是不是全等

追问

对啊 我晓的啊

追答

证明：四边形abcd是菱形，角A=角C,AE=CF=CG=AH,所以三角形AEH和三角形CGF全等
所以角ahe=角gfc
所以EH平行FG

追问

他又不是同位角，内错角，为什么平行啊

追答

这样吧，是不是那四个点都是中点，连接BD、EH、FG,EH和FG是不是平行且等于二分之一BD,是不是就平行了

追问

那四个点不是中点

追答

证明：（1）在平行四边形ABCD中，∠A=∠C，
又∵AE=CG，AH=CF，
∴△AEH≌△CGF
∴EH=GF
在平行四边形ABCD中，AB=CD，AD=BC，
∴AB-AE=CD-CG，AD-AH=BC-CF，
即BE=DG，DH=BF．
又∵在平行四边形ABCD中，∠B=∠D，∴△BEF≌△DGH
∴GH=EF
∴四边形EFGH是平行四边形
（2）解法一：在平行四边形ABCD中，AB∥CD，AB=CD．
设∠A=α，则∠D=180°-α．
∵AE=AH，∴∠AHE=∠AEH=
（180°-α）/2=90°-α/2
∵AD=AB=CD，AH=AE=CG，
∴AD-AH=CD-CG，即DH=DG
∴∠DHG=∠DGH=
[180°-(180°-α)/2]=α/2
∴∠EHG=180°-∠DHG-∠AHE=90°
又∵四边形EFGH是平行四边形，
∴四边形EFGH是矩形
解法二：连接BD，AC．
∵AH=AE，AD=AB，
∴AH/AD=AE/AB，∴HE∥BD
同理可证，GH∥AC
∵四边形ABCD是平行四边形且AB=AD，
∴平行四边形ABCD是菱形
∴AC⊥BD，∴∠EHG=90°
又∵四边形EFGH是平行四边形，
∴四边形EFGH是矩形

追问

你就直接说 相似三角形呢