Question

已知一元二次不等式ax^2+(a-1)x+a-1<0对所有的实数x都成立，求a的取值范围

当a≠0时，f(x)为二次函数，由图象可知，要使f(x)＜0对于所有实数都成立，则函数开口下，且与x轴没有交点，即a＜0，且△＜0，得，a＜ - 1/3
我想知道他是怎么由图像而知的，怎么把图画出来再说f(x)＜0对于所有实数都成立

Answer 1

f(x)=ax^2+(a-1)x+a-1 （a非0）
可看出是一个抛物线
当a>0开口向上 a<0开口向下
f(x)<0恒成立 就有f(x)开口向下且最大值<0
也就是与x轴(y=0)没有交点。

追问

开口向下的时候我认为一切实数就都不成立了啊
还是搞不清楚

追答

开口向下表示 向两边（即正负无穷）y值越来越小啊， y<0

追问

一元二次不等式ax²+bx+c＞0，它的解集对一切实数成立的条件是a＞0，△＜0，为什么呢？
麻烦你了，我真的没搞懂

追答

ax²+bx+c＞0
令f(x) = ax²+bx+c. （a非0）做出抛物线图，
a>0,开口向上，过（0，c）点，
△ >0时与 x轴有两个交点分别是 ax²+bx+c=0的两个根。 [△ =0与x轴有唯一交点为方程的根。△ 0
当x趋于负无穷大的时候f(x) > 0。

a0时与 x轴有两个交点分别是 ax²+bx+c=0的两个根。(△ =0,△ <0自己举个例子画画图)
当x趋于正无穷大的时候f(x) < 0
当x趋于负无穷大的时候f(x) < 0。