Question

如图，已知四棱锥P-ABCD的底面是矩形，PA垂直于平面ABCD，E,F分别是AB,PD的中点，二面角P-CD-B的大小为...

如图，已知四棱锥P-ABCD的底面是矩形，PA垂直于平面ABCD，E,F分别是AB,PD的中点，二面角P-CD-B的大小为45度.
(1)求证:AF平行于PEC;
(2)求证:平面PEC垂直于平面PCD

Answer 1

（1）AF∥平面PEC⇐取PC中点G，AF∥GE⇐四边形AEGF为平行四边形⇐AE∥GF且AE=GF⇐AE∥CD∥GF，AE=GF=12CD
（2）平面PEC⊥平面PCD⇐EG⊥平面PCD⇐AF∥EG且AF⊥平面PCD⇐AF⊥PD且CD⊥AF⇐CD⊥平面PAD⇐CD⊥AD，CD⊥PA⇐PA⊥平面ABCD
解答：证明（1）取PC中点G，连接EG，FG，
∵F为PD的中点，∴GF∥CD且GF=12CD
∵ABCD是矩形，又E为AB中点，∴AE∥CD且AE=12CD，
∴AE∥GF且AE=GF∴四边形AEGF为平行四边形
∴AF∥GE，且AF⊈平面PEC，GE⊆平面PEC，
∴AF∥平面PEC．
（2）∵PA⊥平面ABCD，CD⊆平面ABCD，∴PA⊥CD，
∵ABCD为矩形，∴CD⊥AD，又∵PA∩AD=A，∴CD⊥平面PAD，
∵AF⊆平面PAD，∴CD⊥AF，
∵∠PDA=45°∴F为Rt△PAD斜边PD的中点，∴AF⊥PD，
又∵PD∩CD=D，∴AF⊥平面PCD，
由（1）知AF∥EG．∴EG⊥平面PCD，
又∵EG⊆平面PEC，∴平面PEC⊥平面PCD．
请采纳呀

Answer 2

1)做PD中点为G，连接EG、FG，有FG平行且等于1/2CD平行且等于1/2AB平行且等于AE，所以AEGF为平行四边形，所以AF平行EG平行面PEC
2)因PA⊥ABCD，则PA⊥AD；又∠PDA=45°，则△PDA为RT三角形，则AF⊥PD;连接F与AD中点H，显然FH平行PA，则FH⊥CD，即有EG⊥PD和EG⊥CD，所以面PEC⊥面PCD