Question

已知△ABC为等边三角形，D为AC的中点，∠EDF=120°，DE交线段AB于E，DF交直线BC于F．

已知△ABC为等边三角形，D为AC的中点，∠EDF=120°，DE交线段AB于E，DF交直线BC于F．（1）如图（1），求证：DE=DF；2）如图（2），若BE=3AE，求证：4CF=BC

Answer 1

证明：
（1）连接BD．
∵∠EDF=120°，∠B=60°，
∴BEFD四点共圆；
又∵D为AC中点，
∴在等边三角形ABC中，BD为∠ABC的角平分线，
∴DE和DF在BEFD四点所构成的圆内，其圆周角相等，
∴DE=DF；
（2）连接BD．
由（1）知，四边形BEFD是圆内接四边形，
又∵在等边三角形ABC中，BD为∠ABC的角平分线，
∴BD也是∠EDF的角平分线，
∴∠DEB=180°-1/2×60°-
1/2×120°=90°，
∴△BED是直角三角形；
同理，得△BFD是直角三角形；
在Rt△BED和Rt△BFD中，
BD=DB（公共边），DE=DF（由上题知），
∴Rt△BED≌Rt△BFD（HL），
∴BE=BF（对应边相等）；
又∵AB=BC，BE=3AE
∴CF=14BC；
（3）过点D作DH∥BC，交AB于点H．
∴∠CDH+∠BCA=180°，
∴∠CDH=120°；
又∵D为AC中点，
∴DH=1/2BC=DC；
∵∠HDE+∠EDC=120°，∠FDC+∠EDC=120°，
∴∠HDE=∠FDC；
又由ED=FD，
∴△DHE≌△DCF（SAS）；
∴HE=FC；
①∵BE=1/3AE，AB=BC，
∴BE=1/4BC，
∵AH=1/2BC，
∴HE=BC-AH-BE=1/4BC，
∴CF=1/4BC；
②∵BE=4AE，
∴AE=1/5BC，
∵AH=1/2BC，
∴HE=BC-BH-AE=1/4BC，
∴CF=1/4BC．

Answer 2

(1)证明:在BE上截取BF'=BF,连接DF'.
∵AB=BC;AD=CD.
∴∠F'BD=∠FBD;又BF'=BF,BD=BD.
∴⊿F'BD≌⊿FBD(SAS),DF'=DF;∠BF'D=∠BFD.
又∠EBF+∠EDF=180°.
则∠BED+∠BFD=180°.
故:∠BED+∠BF'D=180°=∠DF'E+∠BF'D.
∴∠BED=∠DF'E,得DE=DF'=DF.
(2)证明:∵BE=3AE.
∴AC=AB=4AE;
又AD=AC/2,则AE/AD=1/2.
∵AE/AD=1/2=AD/AB;∠A=∠A.
∴⊿AED∽⊿ADB,∠AED=∠ADB=90°.
又∠EDF=120°.则∠ADE=∠CDF=30°;
又AD=CD;∠A=∠C=60°.
∴⊿ADE≌⊿CDF(ASA),CF=AE.
故BC/CF=BA/EA=4, 4CF=BC.