Question

高数 数列的极限和函数的极限

刚上大一。。表示听不懂。。作业不会写。。求指导
(1)设lim（n→∞）xn=A，证明：lim（n→∞）(1/n)(x1+x2+…+xn)=A
(2)lim(x→0)x sin(1/x)=0
(3)lim(x→8)根号下（1+x）=3

坐等！！！跪谢啊！！！
第一题使用数列极限的定义证明，23是用函数极限的定义证明。

Answer 1

1.
lim an=a，a为常数
根据定义，
任意ε>0，存在N1>0，当n>N1，有|an-a|<ε
对于：
|(a1+a2+…+an)/n - a|
=| [(a1-a)+(a2-a)+……+(aN1-a)]+[(a(N1+1)-a)+(a(N1+2)-a)+…+(an-a)] | / n
≤|(a1+…+aN1)/n|+|(a(N1+1)-a)+(a(N1+2)-a)+…+(an-a))/n|
=|(a1+…+aN1)/n|+((n-N1)/n) * ε
<|(a1+…+aN1)/n|+ε
因此，取N=max{N1，| a1+…+aN1 |/ε}
那么有，
任意ε>0，存在N>0，当n>N，有|(a1+a2+…+an)/n - a|<(1+1)ε=2ε
故根据定义，
lim (a1+……+an)/n=a

2.
考虑
| xsin(1/x) - 0 |
=|x|*|sin(1/x)|
<|x-0|*1
对任意ε>0，取δ=ε>0，则有
任意ε>0，存在δ>0，当|x-0|<δ，有| xsin(1/x) - 0 |<ε
故根据定义，
lim xsin(1/x)=0

3.
考虑
| √(x+1) - 3 |
=| √(x+1) - 3 |*| √(x+1) + 3 |/| √(x+1) + 3 |
=| x+1-9 |/| √(x+1) + 3 |
=|x-8| / | √(x+1) + 3 |
<|x-8| / 3
对任意ε>0，取δ=3ε>0，则有
任意ε>0，存在δ>0，当|x-8|<δ，有| √(x+1) - 3 |<ε
故根据定义，
lim √(x+1) = 3

有不懂欢迎追问

Answer 2

因为lim（n→∞）xn=A

所以对于任意ε>0,存在N1>0使n>N1时|xn-A|<ε/2
设D=|x1-A|+|x2-A|+...+|xN1 - A|
则当n>N1
|(1/n)(x1+x2+…+xn)-A|
=|(1/n)[(x1-A)+(x2-A)+...+(xn-A)]|
<=(1/n)(|x1-A|+|x2-A|+...+|xn-A|)
=(1/n)(D+|xN1+1 -A|+...+|xn-A|)
<[D+(n-N1)ε/2]/n
令[D+(n-N1)ε/2]/n<ε
n>(2D/ε)-N1
取N=max{[2D/ε)-N1],N1}
则n>N时|(1/n)(x1+x2+…+xn)-A|<ε
所以lim（n→∞）(1/n)(x1+x2+…+xn)=A
2.
对已任意ε>0
因为|xsin(1/x)|<=|x|
则当0<|x|<ε/2时|xsin(1/x)|<|ε|

所以lim(x→0)x sin(1/x)=0
3.|√(1+x)-3|
=|1+x-9|/(√（1+x)+3)分子有理化
<|x-8|(分母>1)
所以对于任意ε>0
0<|x-8|<ε时|√(1+x)-3|<|x-8|<ε
所以lim(x→8)根号下（1+x）=3

追问

第一题为什么是ε/2呢？

追答

为了满足严格小于的条件

追问

<[D+(n-N1)ε/2]/n中的(n-N1)ε/2是乘的意思吗？

追答

是

Answer 3

一：(绝对值不好打，下面我只用正的来证明,e指小量，e>0)
由题 任意i,存在Ni s.t i>Ni 时 Xi-A<e
则 (X1+X2+...+Xn)/n-A=((X1-A)+(X2-A)+...+(Xn-A))/n<ne/n=e......#
这样，取N=max{N1,N2,...,Nn},当n>N时#成立，
所以......

二：由x sin(1/x) -0<=x-0<e
取b=e，则当 x-0<b时 x sin(1/x)<e成立

三：由 绝对值((x+1)^1/2-3)<e
得-1<=x<=(e+3)^2-1......#
取b=(e+3)^2+7,则当 绝对值(x-8)<b时#成立