Question

求不定积分∫根号下（4X^2+1)dx

那些初中没教到的符号解释下。
英文的符号。
我用换元法做，指点一下这个问题在什么地方。
令u(v)=V^0.5 v(x)=4X^2+1 dv=8Xdx
【∫(4X^2+1)^0.5dx 】/8x 这部有什么问题

Answer 1

令u = √v，v = 4x² + 1，dv = 8x dx
∫ √(4x² + 1) dx
= ∫ √v * 1/(8x) * dv，这个x无法抵消，所以要用另一种代换法

√(4x² + 1) = √[(2x)² + 1]
设2x = tanθ，2 dx = sec²θ dθ
sinθ = 2x/√(4x² + 1)，cosθ = 1/√(4x² + 1)
∫ √(4x² + 1) dx
= ∫ √(tan²θ + 1) * (1/2)sec²θ * dθ
= (1/2)∫ |secθ| * sec²θ dθ
= (1/2)∫ sec³θ dθ
= (1/2)[(1/2)secθtanθ + (1/2)ln|secθ + tanθ|] + C
= (1/4)(secθtanθ + ln|secθ + tanθ|) + C
= (1/4)(2x√(4x² + 1) + ln|2x + √(4x² + 1)|) + C

追问

三角换元那步看不懂，sec是什么？
三角函数没学好……

追答

secx = 1/cosx