Question

已知f（x）为二次函数，若f（0）＝0，且f（x＋1）＝f（x）＋x＋1，求f（x）的表达式（解题过程要完整）

Answer 1

解：设f(x)=ax^2+bx+c
由f(0)=0得c=0
代入上式得
f(x)=ax^2+bx
由f(x＋1)＝f(x)＋x＋1得
a(x+1)^2+b(x+1)=ax^2+bx+x+1
整理得
(2a-1)x+a+b-1=0
即2a-1=0
a+b-1=0
解得a=1/2,b=1/2
∴f(x)=1/2x^2+1/2x

Answer 2

根据函数为二次，且f(0)=0所以有f(.x)=ax2+bx,取x=0根据等式有f(1)=f(0)+0+1,得f(1)=1,有a+b=1,再取x等于1,根据等式有f(2)=f(1)+1+1,得f(2)=3,有4a+2b=3,解出方程的a=b=0.5所以f(x)=0.5X2+0.5x

Answer 3

解：设f(x)＝ax²＋bx＋c （a不等于0） 因为f(0)＝0即该函数图像过原点 所以c=0 令x=0，由f（x＋1）＝f（x）＋x＋1得f（1）=1 所以a+b=1 令x=1 由f（x＋1）＝f（x）＋x＋1得f（2）=3 所以4a+2b=3 联立a+b=1与4a+2b=3 解得a=b=1/2 所以f（x）=1/2x²+1/2x

Answer 4

设f(x)＝ax²＋bx＋c
∵f(0)＝0 ∴c＝0 ∴f(x)＝ax²＋bx
∵f(x＋1)＝f(x)＋x＋1 ∴a(x＋1)²＋b(x＋1)＝ax²＋bx＋x＋1
∴ax²＋(2a＋b)x＋a＋b＝ax²＋(b＋1)x＋1
∴2a＋b＝b＋1 a＋b＝1 ∴a＝b＝1/2
∴f(x)＝1/2(x²＋x)

Answer 5

令x=0得f(1)=1,设f(x)=ax^2十bx十C，由题意得c=0，a(x十1)^2十b(x十1)=aX^2十bx十x十1，得(2a-1)x十a十b一1=0，由已知f(0)=0，f(1)=1得a=1,b=0，所以得f(x)=x^2。