Question

计算：1³+2³+3³+···+99³+100³

Answer 1

首先，你要知道前n个自然数的立方和为前n个自然数之和的平方。即：1³＋2³+3³＋…＋n³=(1＋2＋3+…+n)²
1³+2³+3³+···+99³+100³=(1+2+3+···99+100)²=5050²

Answer 2

由n^3+3n^2+2n=n(n+1)(n+2)=1/4[n(n+1)(n+2)(n+3)-(n-1)n(n+1)(n+2)]
1^3+3×1^2+2×1=1/4[1×2×3×4－0]
2^3+3×2^2+2×2=1/4[2×3×4×5－1×2×3×4]
......
n^3+3n^2+2n=1/4[n(n+1)(n+2)(n+3)-(n-1)n(n+1)(n+2)]
以上式子相加：
(1^3+2^3+3^3+...+n^3)+3×(1^2+2^2+3^2+...+n^2)+2×（1+2+3+...+n）=1/4n(n+1)(n+2)(n+3)
1^3+2^3+3^3+...+n^3=1/4n(n+1)(n+2)(n+3)-3×n(n+1)(2n+1)/6-n(n+1)
=1/4n(n+1)×[(n^2+5n+6)-(4n+2)-4]=[n(n+1)/2]^2
所以：1³+2³+3³+···+99³+100³＝5050²

其中：1^2+2^2+3^2+...+n^2＝n(n+1)(2n+1)/6是由本方法类似推导出来的，只是利用下列等式：
n^2+n=n（n+1）=1/3[n(n+1)(n+2)-(n-1)n(n+1)]
可以得出：1^2+2^2+3^2+...+n^2＝1/3n(n+1)(n+2)－n(n+1)/2=n(n+1)(2n+1)/6

Answer 3

1³+2³=1+8=（1+2）^2=9
1³+2³+3³=1+8+27=(1+2+3)^2=36
1³+2³+3³+4³=1+8+27+64=(1+2+3+4)^2=100
……
所以1³+2³+3³+···+99³+100³=（1+2+3+………+100)^2
=(1+100) *(100/2) =5050*5050=25502500

Answer 4

（1+2+。。。+100）^2=5050^2