Question

设a,b,c为三角形ABC的三边，求证：x^2+2cx-b^2=0与x^2+2ax+b^2=0有公共根的充要条件是角A=90度

Answer 1

充分性：
A=90度，则a^2=b^2+c^2
那么第一个方程的根为-c±√(c^2+b^2)=-c±a
第二个方程的根为-a±√(a^2-b^2)=-a±c
则它们有公共根-a-c

必要性：
第一个方程两根之和为-2c<0，两根之积为-b^2<0，两根一正一负
第二个方程的根之和为-2a<0，两根之积为b^2>0，两根都为负
它们有公共根，就是第一个方程的负根与第二个方程的一个负根相等
又两根之积分别为-b^2，b^2，所以第一个方程的正根与第二个方程的另一个负根互为相反数

(1)若-c-√(c^2+b^2)=-a+√(a^2-b^2)，-c+√(c^2+b^2)=-(-a-√(a^2-b^2))
两式相加得，-2c=2√(a^2-b^2)，左边<0，右边≥0，矛盾
(2)若-c-√(c^2+b^2)=-a-√(a^2-b^2)，-c+√(c^2+b^2)=-(-a+√(a^2-b^2))
两式相加得，-2c=-2√(a^2-b^2)
所以a^2-b^2=c^2
那么A=90度

综上所述，充要条件