Question

已知AB、CD是⊙O的两条互相垂直的直径

（1）如图①，点F是⌒BC的中点，连FO，延长交⊙O于E，连接FA、FD，求证：FE平分∠AFD；（2）如图②，点P是⌒AD上一动点（不运动到A、D），连接PC，过A作AQ⊥CP，在点P运动过程中，∠OQC是否保持某一确定的度数不变？若是，求∠OQC度数；若不是，说明理由。

Answer 1

（1）证明△FAO≌△FDO
AO=DO(半径相等）
∠FOA=∠FOD
FO=FO（公用边）
∴∠FAE=∠FED
∴FE平分∠AFD
（2）
方法1：以AC的中点为圆心，AC为直径作圆，则P、O都在圆周上，从而∠OQC=∠OAC=45°

方法2： ∠APC=45C，所以∠QAP=45°，连接PB，延长AQ交PB于N，则PQ为等腰直角三角形APQ底边上的高，所以Q为AN的中点，又O为AB中点，所以三角形ANB、AQO相似，所以角AOQ=角ABP,又角ABP=角ACP ,设CP、AB的交点为M，则∠OQC = ∠OMC - 角AOQ = ∠OMC - 角ABP = ∠OMC - 角ACP = ∠CAB =45°