Question

设x、y为实数,若4x^2+y^2+xy=1,则2x+y的最大值是

我这么做为什么不对4x^2+y^2 + xy = 1=>4x^2+y^2 = 1 - xy,(2x+y)^2 = 1 + 3xy
4x^2+y^2 ≥ 2*2x*y =4xy,1-xy ≥4xy=>xy ≤1/5
(2x+y)^2 = 1 + 3xy ≤ 1+3/5 = 8/5
2x+y≤√(8/5)
2x+y的最大值 √(8/5)或令2x=a,y=b，2X+Y=a+b
4X^2+Y^2+XY=1->a^2+b^2+ab/2=1->∵[(a+b)/2]^2≤(a^2+b^2)/2∴->
a^2+b^2+(a^2+b^2)/4-1≥a^2+b^2+ab/2-1=0所以2(a^2+b^2)≥8/5≥(a+b)^2,所以2X+Y=a+b≤√（8/5）
都不对答案是2跟号10/5

Answer 1

16/13这个用基本不等式2X+Y≥2*根号2XY，化简,(2x+y)^2 = 1 + 3xy，把2X+Y=2*根号2XY带入（因为=时有最小值），得8XY-3XY=1，解得XY=1/5，反向带入2X+Y≥2*根号2XY中，得2跟号10/5，如有计算错误，感谢指出！

Answer 2

我没发现什么不对，而且结果也对
其实4x^2+y^2 + xy>=4xy+xy<=1立即就出来了
设2x+y=t y=t-2x 代入看成一元二次方程
判别式>=0可解
你自己也就验证，结果一样，没化简完

Answer 3

这个用基本不等式2X+Y≥2*根号2XY，化简,(2x+y)^2 = 1 + 3xy，把2X+Y=2*根号2XY带入（因为=时有最小值），得8XY-3XY=1，解得XY=1/5，反向带入2X+Y≥2*根号2XY中，得2跟号10/5，如有计算错误，感谢指出！

Answer 4

可以转化为（2x+y）^2 - 3xy=1
则 （2x+y）^2 - 3/4[（2x+y）/2]^2 <= 1
设 2x+y = t
则 t^2 - 3/4（t/2）^2 <= 1
t^2 <= 16/13
故 2x+y 的最大值 根号下（16/13）

Answer 5

因该是1