Question

已知函数f(x),当x,y属于R时，恒有f(x+y）=f（x）+f(y)，当x大于0是，

f（x）小于0试判断f（x）在（0，正无穷）上的单调性 谢谢

Answer 1

f（x＋y）－f（y）＝f（x），令x大于0，y大于0，x＋y大于y，意味着（0，正无穷）上，越往右，函数越大，这是做差法求单调性

Answer 2

易知f(0)=0。
对任意x1,x2属于R，且x1<x2。
则x2-x1>0，则f(x2-x1)<0.
由此得f(x2)=f(x1+(x2-x1))=f(x1)+f(x2-x1)
f(x2)-f(x1)=f(x2-x1)<0,即f(x1)>f(x2)
所以f(x)在R上为减函数。得证

Answer 3

令x=y=0, 则f(0+0）=f（0）+f(0)，f(0)=0
x>0, f(x)<0=f(0)

所以，f(x) 在（0，正无穷）上的单调递减