Question

一道高一数学题：f(x)=x²+|x-a|+1，求f(x)的最小值。要完整的过程。。。谢啦。

Answer 1

f(x)={g(x)=x^2+x-a+1=(x+1/2)^2-a+3/4,x≥a
h(x)=x^2-x+a+1=(x-1/2)^2+a+3/4,x≤a
(1)当a≥1/2时，g(x)min=g(a)=a^2+1
h(x)min=h(1/2)=a+3/4
a^2+1-(a+3/4)=a^2-a+1/4=(a-1/2)^2≥0
∴f(x)min=h(x)min=a+3/4≥1/2+3/4=5/4
(2)当-1/2≤a≤1/2时，g(x)min=g(a)=a^2+1
h(x)min=h(a)=a^2+1
∴f(x)min=a^2+1≥1
(3)当a≤-1/2时，g(x)min=g(-1/2)=-a+3/4
h(x)min=h(a)=a^2+1
-a+3/4-(a^2+1)=-(a^2+a+1/4)=-(a+1/2)^2≤0
∴f(x)min=g(x)min=-a+3/4≥-(-1/2)+3/4=5/4