Question

向高手请教高中数学解析几何问题

l1；A1x+B1y+C1=0
l1；A2x+B2y+C2=0
过交点m(X0，Y0)直线方程可设为
A1x+B1y+C1+λ(A2x+B2y+C2)=0(不含有线l2)

(A1+λA2)x+(B1+λB2)Y+C1+λC2=0 这个怎么来的

要详细步骤 特别解释一下A1x+B1y+C1+λ(A2x+B2y+C2)=0(不含有线l2)怎么来的

Answer 1

解：m(X0，Y0)为
l1；A1x+B1y+C1=0
l1；A2x+B2y+C2=0
的交点，所以

A1x0+B1y0+C1=0
A2x0+B2y0+C2=0
故对任意实数λ有 A1x0+B1y0+C1+λ（A2x0+B2y0+C2）=0
即(X0，Y0)为A1x+B1y+C1+λ(A2x+B2y+C2)=0上的一点，亦即
A1x+B1y+C1+λ(A2x+B2y+C2)=0 为过(X0，Y0)的直线系。
当λ=0时，该直线系方程就是直线l1。但无论λ取何值，该直线系方程代表的直线都不会成为
k（A2x+B2y+C2)=0 的形式，不然就会有A1x+B1y+C1=（k-λ）(A2x+B2y+C2）
即l1与l2重合，这与题目不符。
所以A1x+B1y+C1+λ(A2x+B2y+C2)=0 不包含l2

追问

我是想问λ是哪来的？

追答

λ是任意实数。随便你取什么值，都能有
A1x0+B1y0+C1+λ（A2x0+B2y0+C2）=0

Answer 2

因为l1,l2都过点m
所以
A1x0+B1y0+C1=0……1
A2x0+B2y0+C2=0……2
λ(A2x0+B2y0+C2)=0……3
1式+3式得
A1x0+B1y0+C1+λ(A2x0+B2y0+C2)=0
这就是一个新的方程即
A1x+B1y+C1+λ(A2x+B2y+C2)=0
且当λ=0时就是l1
不含有线l2是因为如果包含l2,则A2x+B2y+C2=0，那么A1x+B1y+C1+λ(A2x+B2y+C2)=0就等价于A1x+B1y+C1=0（直线l1)而l2与l1不为一条直线，所以不应包含l2
做题时为了避免这种情况一般直线系方程设为m(A1x＋B1y＋C1)＋n(A2x＋B2y＋C2)＝0（m,n不同时为0

Answer 3

A1x+B1y+C1+λ(A2x+B2y+C2)=0
A1x+B1y+C1+λA2x+λB2y+λC2=0
A1x+λA2x+B1y+λB2y+C1+λC2=0
提取X，Y即可得出A1x+B1y+C1+λ(A2x+B2y+C2)=0

Answer 4

若过交点，就是既满足直线一的方程也满足直线二的方程，在线二前面乘一个待定系数就使两个条件都得到满足而无论系数为何直都不可能让对应系数与线二的系数对等（特殊情况除外）因此在非特殊情况下，其是不包括线二，过交点的直线系方程。