Question

！！！！！微积分入门跪求指教！！！！！

1、对于无穷多个正数ε>0，都存在对应的δ>0，使当|x-x0|<δ时，有|f(x)-f(x0)|<ε,f在xo是否连续？（我知道不一定，一定要任意正数ε才行，但举不出合适的反例来证明）
2、若f(x)在点x=a的领域内有定义，极限lim[f(a+h)-f(a-h)]=0(h趋向于0)。问f(x)在点a是否连续？
3、设f,g在定义域D上连续，。证明max(f,g)(x)=max{f(x),g(x)}及min(f,g)(x)=min{f(x),g(x)}在D上连续。
小女子高中文科，大一刚学微积分，感到苦逼至极。跪求各路神仙多多指点迷津

Answer 1

1、不一定连续
反例很好举，例如一个分段函数f(x)，x≠0时 f(x)=0，x=0时 f(x)=1. 显然f(x)在x=0处不连续，但是任意大于1的实数ε，当|x-0|<δ时都有|f(x)-f(0)|=1<ε。满足条件但不连续，因此这个命题不正确。
2、不一定连续
比如函数f(x)，x=0时f(x)=0，x≠0时f(x)=1/(x^2). 显然f(x)在x=0处不连续。但是因为f(x)是偶函数，所以 f(0+h)-f(0-h) 恒等于0（注意h趋向0但是不等于0←极限定义）。仍然满足条件但还是不连续，因此这个命题不正确。
3、这个的证明方法类似于复合函数连续的证明方法，不再赘述。建议还是多看看书上的证明，体会一下ε-δ证明的方法。

Answer 2

1.无穷多的正数和任意正数差了很多，譬如大于2的正数也是无穷多的正数，但是带入之后明显不符合。
2.不一定连续，譬如说f(a)是一个孤立点，同样满足以上叙述
3.如果f(x),g(x),没有交点，自然成立。假设有交点，非交点处连续自然成立，交点处，
用定义应该也可以证吧！
好几年不看微积分了，有些也不一定记得了

Answer 3

我看了前一条回答，觉得1、3两题基本是那样，第二题补充说一下，a点也可能是可去间断点。