Question

！！！已知x1，x2，x3，...,x2010,x2011属于R 求证：

已知x1,x2,x3,...,x2010,x2011属于R 求证:x1^2/x2+x2^2/x3+x3^2/x4+...+x2010^2/x1≥x1+x2+x3+...+x2010+x2011
都是正实数，有木有人有思路！！！

Answer 1

很有规律啊
基本不等式
a+b>=2根号(a*b)

x1^2/x2+x2>=2根号(x1^2/x2 *x2)=2根号(x1^2)=2x1 (x1>0)
等号成立时x1^2/x2=x2, 即x1=x2
同理
x2^2/x3+x3>=2x2

...
x2010^2/x2011 +x2011>=2 x2010
x2011^2/x1+x1>=2 x2011

左右都累加
得
x1^2/x2+x2^2/x3+x3^2/x4+...+x2011^2/x1 + (x1+x2+...+x2011)>=2(x1+x2+...+x2011)

所以
x1^2/x2+x2^2/x3+x3^2/x4+...+x2011^2/x1≥x1+x2+x3+...+x2010+x2011

下证等号可能成立
因为第一个不等式等号成立条件为x1=x2,第二个是x2=x3,...最后一个是x2011=x1
所以等号成立条件即为x1=x2=...=x2011
所以
x1^2/x2+x2^2/x3+x3^2/x4+...+x2011^2/x1≥x1+x2+x3+...+x2010+x2011

Answer 2

解答：
利用基本不等式：
(x1²)/(x2)＋x2≥2x1
(x2²)/(x3)＋x3≥2x2
(x3²)/(x4)＋x4≥2x3
……
(x2009²)/(x2010)＋x2010≥2x2009
(x2010²)/(x2009)＋x2009≥2x2010
(x2011²)/(x1)＋x1≥2x2011
全部相加，得：
(x1²)/(x2)＋(x2²)/(x3)＋…＋(x2011²)/(x1)＋(x1＋x2＋…＋x2011)≥2(x1＋x2＋…＋x2011)
即：
(x1²)/(x2)＋(x2²)/(x3)＋…＋(x2011²)/(x1)≥x1＋x2＋x3＋…＋x2011

请参考……

Answer 3

由二元均值不等式 得
:x1^2/x2+x2≥2 x1
x2^2/x3+x3≥2 x2
....
x2011^2/x1+x1≥2 x2011
把上面2011个式子相加即可。

Answer 4

什么题目？

追问

看不到吗

追答

已知x1,x2,x3,...,x2010,x2011属于R 求证:x1^2/x2+x2^2/x3+x3^2/x4+...+x2010^2/x1≥x1+x2+x3+...+x2010+x2011
你求什么呢

追问

证明 >=

追答

大于等于什么啊？

追问

≥x1+x2+x3+...+x2010+x2011

你看不到吗？

追答

看到了