Question

已知一个圆截y轴所得的弦长为2，被x轴分成的两段弧长的比为3：1．

（1）设圆心（a，b），求实数a、b满足的关系式；
（2）当圆心到直线l：x-2y=0的距离最小时，求圆的方程．

Answer 1

郭敦顒回答：
（1）∵圆截y轴所得的弦长为2，而圆半径R=1，
∴圆心（a，b）在y轴上，a=0；
设圆截X轴所得的弦 为AB，圆心为O，AB交Y轴D，b=OD，
∵被x轴分成的两段弧长的比为3：1
∴∠AOB=90°，∴OD=1×cos45°=0.7071, ∴b=0.7071
而实数a、b满足圆的一般方程的关系式：（x－a）²+(y－b) ²=R²。
(2) 当圆心到直线l：x-2y=0的距离最小时，圆心在直线l上，且圆心坐标为
O (2，1)
∴圆的方程是：（x－2）²+(y－1) ²=r²，r是圆半径。

Answer 2

解：(1)
设圆半径为R。
a^2+1=R^2;
R^2/2+b^2=R^2.
得
b^2=(a^2+1)/2
(2)当圆心在直线上时，圆心到直线的距离最小，即a=2b；
2a^2=a^2+1;
得a=-1或a=1
圆心为（-1，-1/2）或（1,1/2）
R^2=1/2
圆的方程：（x+1）^2+(y+1/2)^2=1/2
或
（x-1）^2+(y-1/2)^2=1/2