Question

已知数列{an}满足a1=1,a下标(n+1)=2an+n^2-4n+2,

(1)求证:数列{an+(n-1)^2}是等比数列 (2)求an和sn的表达式

Answer 1

1，a(n+1)=2an+n²-4n+2
a(n+1)+n²=2an+2n²-4n+2
=2[an+(n²-2n+1)]
=2[an+(n-1)²]
而a1+(1-1)²=1+0=1≠0
所以数列{an+(n-1)²}是以1为首项、2为公比的等比数列
2，an+(n-1)²=1×2^(n-1)
那么an=2^(n-1)-(n-1)² (n∈N+)
所以Sn=[1+2+2²+2^3+……+2^(n-1)]-[0²+1²+2²+……+(n-1)²]
=1×(1-2^n)/(1-2)-(n-1)n(2n-1)/6
=(2^n)-1-[n(n-1)(2n-1)/6]

Answer 2

第1问：
a(n+1)=2an+n²-4n+2
a(n+1)+n²=2an+2n²-4n+2=2an+2(n-1)²=2[an+(n-1)²]
所以数列｛an+(n-1)²｝是公比为2的等比数列

第2问：
数列｛an+(n-1)²｝的首项为a1+(1-1)²=1
则an+(n-1)²=1*q^(n-1)=2^(n-1)
an=2^(n-1)-(n-1)²
Sn=a1+a2+a3+……+an
=(2^0-0²)+(2^1-1²)+(2^2-2²)+……+[2^(n-1)-(n-1)²]
=[1+2+4+……+2^(n-1)]-[1²+2²+……+(n-1)²]
=(1-2^n)/(1-2)-(n-1)n(2n-1)/6
=2^n-1-n(n-1)(2n-1)/6

Answer 3

（1）证明：
取n=n+1代入，得：
a(n+1)+n²=2an+2n²-4n+2
a(n+1)+[(n+1)-1]²=2an+2(n-1)²
所以{a(n+1)+[(n+1)-1]²}/[an+(n-1)²]=2
所以
an+(n-1)²是等比数列。
（2）a1=1，a2=2×1+1-4+2=1
令bn=an+(n-1)²，则由上题知，bn为等比数列。b1=a1=1，b2=a2+1=2，所以bn=2^(n-1)
∴an+(n-1)²=2^(n-1)
∴an=2^(n-1)-(n-1)²
Sn=a1+a2+a3......+an
=(2^0-0^2)+(2^1-1^2)+(2^2-2^2)+[2^(n-1)-(n-1)^2]
=[2^0+2^1+2^2+...+2^(n-1)] - [0^2+1^2+2^2+...+(n-1)^2]
=2^n - 1 - n(n-1)(2n-1)/6