Question

定义在R上的函数f（x）满足：①对任意实数x，y∈R有

定义在R上的函数f（x）满足：①对任意实数x，y∈R有f（x+y）=f（x）+f（y）；②当x＞0时，f（x）＜0且f（1）=-2.
1）求证f（0）=0；
2）判断函数f（x）的单调性并证明；
3）解不等式f（x²-2x）-f（x）≥-8
麻烦给个具体的证明过程，分点，谢谢。

Answer 1

解1：
f(x+y)=f(x)+f(y)
f(1)=f(1+0)=f(1)+f(0)
即：f(1)=f(1)+f(0)
解得：f(0)=0

解2：
设：x、y＞0，则：x+y＞x，
由已知，有：f(x)＜0、f(y)＜0
因为：f(x+y)=f(x)+f(y)
所以：f(x+y)-f(x)=f(y)＜0
即：f(x+y)＜f(x)
所以：当x＞0时，f(x)是单调减函数。
f(-x)=f(x-2x))=f(x)+f(-2x)=f(x)+2f(-x)
即：f(-x)=f(x)+2f(-x)
解得：f(-x)=-f(x)
可见：f(x)是奇函数。
因此，当x＜0时，f(x)亦为单调减函数
而：f(0)=0，
故：f(x)为减函数。

解3：
f(x²-2x)-f(x)≥-8
f(x²)+f(-2x)-f(x)≥-8
f(x²)-3f(x)≥-8

Answer 2

1）令x=0，y=0.则
f（0+0）=f（0）+f（0）
所以f（0）=2f（0）
所以f（0）只能等于零
2）设任意实数x1，令x2=1+x1
则f（x2）=f（1+x1）=f（1）+f（x1）=f（x1）-2
我们设的x1是任意实数，就是说任何实数都满足这一点，且当x＞0时，f（x）＜0，
所以当x2>x1时f（x2）<f（x1） 可知此函数为单调减函数
3）f（x²-2x）-f（x）=f（x²-2x-x）=f（x²-3x）≥-8
f（1）=-2
-8=4f（1）=f（4）
f（x²-3x）≥-8可化为f（x²-3x）≥f（4）
由于f（x）是减函数
所以f（x²-3x）≥f（4）可化为
4≥x²-3x
解一元二次不等式 得
4≥x≥-1

Answer 3

1) f(0+0)=f(0)+f(0) ,即f(0)=2f(0),所以f(0)=0
2)设x>y,则x-y>0, 而f(x)=f(x-y+y)=f(x-y)+f(y)<f(y),所以函数在R上单调递减
3）-8=-2+(-2)+(-2)+(-2)=f(1)+f(1)+f(1)+f(1)=f(2)+f(2)=f(4)
所以f(x²-2x)-f(x)≥f(4) => f(x²-2x)≥f(x)+f(4)=f(x+4) 又因为函数递减
所以x²-2x《x+4 => x²-3x-4《0 => (x-4)(x+1)《0 => -1《x《4

Answer 4