Question

一高一数学题 已知函数FX=a-1/|x|,求证函数y=fx在(0,正无穷大)上是增函数

已知函数FX=a-1/|x|,（1）求证函数y=fx在(0,正无穷大)上是增函数
（2）若fx＜2x在（1，正无穷大）上恒成立，求实数a的取值范围

Answer 1

解：(1)
方法一：求导法
x>0时，|x|=x
f'(x)=a'-(-1/x²)=0+1/x²>0
所以y=f(x)在(0,正无穷大)上是增函数；
方法二：比较数值法
在（o,正无穷大）上随意取x1，x2，且x2>x1>0
f（x2）-f(x1)=a-1/x2-(a-1/x1)=-1/x2+1/x1=(x2-x1)/(x1*x2);
由于x2>x1>0,所以上式>0, 所以f（x2）>f(x1), 所以y=f(x)在(0,正无穷大)上是增函数；
(2)
f(x)＜2x在（1，正无穷大）上恒成立,即：
a-1/x<2x横成立，解此不等式即可
ax-1<2x²
2x²-ax+1>0
x²-a/2*x+1/2>0
(x-a/4)²+(1/2-a²/16)>0
上式横成立，意味着1/2-a²/16>0
解此不等式：8-a²>0
a²<8
-2√2<a<2√2

Answer 2

（1）在（o,正无穷大）上任取X1 X2且x1<x2
fx1-fx2
=a-1/lx1l-a+1/lx2l
=-1/lx1l+1/lx2l
因为x1<x2
所以fx1-fx2<0即fx1<fx2
同增异减，所以函数y=fx在(0,正无穷大)上是增函数
（2）耐克函数

Answer 3

1. f(x) = a-1/x

   f'(x)=-(a-1)x^(-2)

   x^(-2)>0

   f'(x)=(1-a)x^(-2)

   a<1时，函数是增函数