Question

定义在R上的函数f(x)满足:对任意实数m,n,总有f(m+n)=f(m)+f(n),且当x>0时,0<f(x)<1

判断f(x)的单调性并证明你的结论

Answer 1

证：令x1<x2，则x2-x1>0
因为，当x>0时,0<f(x)<1
所以，0<f(x2-x1)<1
x2=(x2-x1)+x1
因为对任意实数m,n,总有f(m+n)=f(m)+f(n)
所以， f(x2)=f[(x2-x1)+x1]
=f(x2-x1)+f(x1)
则：f(x2)-f(x1)=f(x2-x1)>0
f(x1)<f(x2)
即：对任意的x1<x2，有f(x1)<f(x2)
所以，f(x)是单调增函数。

注：题目有点小问题，估计你写错了，那个小于1都用不到~~

祝你开心！希望能帮到你，如果不懂，请Hi我，祝学习进步！

Answer 2

f（0） f（0）=f（0）,f（0）=0.f（x） f（-x）=f（0）=0. f（x）为奇函数，不妨设m＞n,f（m）-f（n）=f（m） f（-n）=f（m-n），m-n＞0,所以0＜f（m-n）＜1