Question

设函数f(x)的定义域为R,对任意x,y都有f(x+y)=f(x)+f(y)当x＞0时，f(x)＞0且f(2)=6

①求证函数f（x）是奇函数
②证明f（x）在R上是增函数
③求f（x）在[-4，4]上的值域

Answer 1

设函数f(x)的定义域为R,对任意x,y都有f(x+y)=f(x)+f(y)当x＞0时，f(x)＞0且f(2)=6
①求证函数f（x）是奇函数②证明f（x）在R上是增函数③求f（x）在[-4，4]上的值域

(1)证明：∵函数f(x)的定义域为R,对任意x,y都有f(x+y)=f(x)+f(y)
令y=-x
f(x-x)=f(x)+f(-x)==> f(0)=f(x)+f(-x)=f(0)=0==>f(-x)=-f(x)
∴函数f（x）是奇函数
(2)证明：设x,y>0
∴x+y>x.x+y>y
∵当x＞0时，f(x)＞0
f(x+y)=f(x)+f(y)==> f(x+y)>f(x), f(x+y)>f(y)
f（x）在x>0上是增函数
∵函数f（x）是奇函数
∴f（x）在x<0上也是增函数，f(0)=0,f(x)<0
∴f（x）在R上是增函数
(3)解析：∵f(2)=6
f(2+2)=f(2)+f(2==>f(4)=12
f(-4)=-f(4)=-12
∴f（x）在[-4，4]上的值域为[-12,12]