若z+1/Z=2cosθ,证明:z^m+1/z^m=2cosmθ
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令Z＝r（cosα＋isinα），则：
1/Z＝（1/r）［1/（cosα＋isinα）］＝（1/r）（cosα－isinα）/［（cosα）^2－（isinα）^2］
＝（1/r）（cosα－isinα）。
∴Z＋1/Z
＝r（cosα＋isinα）＋（1/r）（cosα－isinα）
＝（r＋1/r）cosα＋（r－1/r）isinα。
而Z＋1/Z＝2cosθ，∴α＝θ，且r＋1/r＝1、r－1/r，得：r＝1。
∴Z＝cosθ＋isinθ。
∴Z^m＝cosnθ＋isinnθ。
∴Z^m＋1/Z^m
＝cosnθ＋isinnθ＋1/［cosnθ＋isinnθ］
＝［（cosnθ＋isinnθ）^2＋1］/［cosnθ＋isinnθ］
=Z＋1/Z=2cosθ
1/Z＝（1/r）［1/（cosα＋isinα）］＝（1/r）（cosα－isinα）/［（cosα）^2－（isinα）^2］
＝（1/r）（cosα－isinα）。
∴Z＋1/Z
＝r（cosα＋isinα）＋（1/r）（cosα－isinα）
＝（r＋1/r）cosα＋（r－1/r）isinα。
而Z＋1/Z＝2cosθ，∴α＝θ，且r＋1/r＝1、r－1/r，得：r＝1。
∴Z＝cosθ＋isinθ。
∴Z^m＝cosnθ＋isinnθ。
∴Z^m＋1/Z^m
＝cosnθ＋isinnθ＋1/［cosnθ＋isinnθ］
＝［（cosnθ＋isinnθ）^2＋1］/［cosnθ＋isinnθ］
=Z＋1/Z=2cosθ
参考资料： 百度有一个差不多的题目，感谢 飘渺的绿梦 。
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