Question

若函数y=1/2x^2-x+2/3的定义域和值域都是[a,b],求a与b的关系

Answer 1

我看到你评论了。a,b是可以求出来的。
以下是我原来的解答过程。
解：y=1/2(x-1)²+1
所以y≥1
所以 a≥1
所以 f(x)在【a b】上单调递增
f(a)=a
f(b)=b
a²-2a+3=2a （1）
b²-2b+3=2b （2）
a<b
a=1，b=3

上面那位的解答过程中，没有体现值域也是[a,b]

Answer 2

y=1/2*(x-1)^2+1/6
开口向上，对称轴为x=1, 当x>1时单调增；x<1时单调减
1）如果[a,b]在对称轴右边，即a>=1, 则
fmax=b=f(b)=1/2 b^2-b+2/3
fmin=a=f(a)=1/2a^2-a+2/3
即a,b为方程1/2x^2-x+2/3=x的根，为：a=2-√(8/3), b=2+√(8/3)， 但此时a<1, 故舍去。
2）如果[a,b]在对称轴左边，即b<=1,则
fmax=b=f(a)=1/2a^2-a+2/3
fmin=a=f(b)=1/2b^2-b+2/3
两式相减得：b-a=1/2(a^2-b^2)-(a-b), 因a<>b, 两边除以a-b,有：a+b=0
即a=-b,区间为[-b, b], 其中0<b<=1
3)如果[a,b]包含对称轴，即a<1<b
则fmin=a=f(1)=1/6, 即区间为[1/6, b]
若b>11/6, 则fmax=b=f(b)=1/2b^2-b+2/3, 得：b=2+√(8/3)，
若1<b<11/6,则fmax=b=f(1/6)=37/72<1, 矛盾。舍去。

综合得：a=-b, 且0<b<=1

Answer 3

y=1/2(x-1)^2+1
当X大于等于1时,函数单调递增
当X小于1时,函数单减.
由题知，a肯定小于b所以肯定在b取最大值。函数在[a,b]不可能单减。
1。当a大于等于1时
当X=a时，有最小值1/2（a-1)^2+1=a
当X=b时，有最大值1/2（b-1)^2+1=b
a=1,b=3
2。当a小于1时。
当X=1时，最小值a=1与条件不符合。
所以a=1.b=3