Question

高一数学函数问题，求解

定义在R上的函数f(x)，满足当x＞0时，f(x)＞1,且对任意的x,y∈R,有f(x+y)=f(x)·f(y),f(1)=2.
⑴求f(0)的值
⑵求证：对任意x∈R,都有f(x)>0
⑶解不等式f(3-x²)>4
求答案

Answer 1

对任意的x,y∈R,有f(x+y)=f(x)·f(y),这个条件非常有用，可以得到很多结论，楼主请看：
（1）既然对任意的x,y∈R,有f(x+y)=f(x)·f(y)，可令x=0，y=1，得f(1)=f(1)f(0)，因为有当x>0时，f(x)>1，所以f(1)>1≠0，所以可约去f(1)，得f(0)=1

（2）既然已知x>0时，f(x)>1，且有f(0)=1，只要证明x<0时有f(x)>0，问题就解决了。
任取x0，满足x0<0，则-x0>0，所以由f(x+y)=f(x)·f(y)，得f(x0-x0)=f(x0)f(-x0)=f(0)=1
所以有f(x0)=1/f(-x0)，注意到x>0时，f(x)>1，所以f(-x0)>1，因此f(x0)>0，所以当x<0时有f(x)>0，问题得证。

（3）这类型的不等式是函数不等式，要用函数单调性求解。同时要把所有的孤立常数转变成f(?)，例如此题要求出f(?)=4
先求f(?)=4，由于f(1)=2，结合f(x+y)=f(x)·f(y)特点，令x=y=1，得f(2)=f(1)f(1)=4，所以有f(2)=4
f(3-x²)>4←f(3-x²)>f(2)，知道函数值大小，只要证明函数单调性，即可比较自变量大小，下面就证明函数f(x)单调性。
任取x1,x2，并设x1>x2，此时再由已知条件证明f(x1)和f(x2)的大小关系，证法如下：
由f(x+y)=f(x)·f(y)，令y=-x，得f(0)=f(x)·f(-x)=1，所以f(-x)=1/f(x)，证明这一步，是为下面做准备：f(x1)/f(x2)=f(x1)f(-x2)=f(x1-x2),（f(x+y)=f(x)·f(y)逆过来用），注意由假设x1-x2>0，x>0时，f(x)>1，所以有f(x1-x2)>1，f(x1)/f(x2)=f(x1)f(-x2)=f(x1-x2)>1→f(x1)>f(x2)，（这里不直接证明f(x1)-f(x2)>0，而是证明f(x1)/f(x2)>1，是根据题目条件考虑的。），到这里可知f(x)是增函数，所以有f(3-x²)>f(2)→3-x²>2→x∈(-1,1)

追问

（1）中解题使用了什么方法，求归纳
（2）中为何y可换为-x0

追答

对任意的x,y∈R,有f(x+y)=f(x)·f(y)，懂不，你明白这句话的意思吗，只要x，y是实数，都满足f(x+y)=f(x)·f(y)，任取x0<0,x0是实数不？任取实数x，-x是实数不？是实数就可以把y换成-x，f(2)=f(1)f(1)=4，因为1也是实数，把1换成x，y，成立不？

你根本对函数不理解，你先理解抽象函数，再学习这类型的题目。